Τι είναι φυσικός αριθμός; Ιστορικό, πεδίο, ιδιότητες

Τα μαθηματικά διακρίθηκαν από τη γενική φιλοσοφία γύρω στον 6ο αιώνα π.Χ. Και από εκείνη την στιγμή ξεκίνησε τη νικηφόρα πομπή του σε όλο τον κόσμο. Κάθε στάδιο εξέλιξης εισήγαγε κάτι νέο - ο στοιχειώδης λογαριασμός εξελίχθηκε, μετατράπηκε σε διαφορικό και ολοκληρωμένο λογισμό, αντικαταστάθηκε αιώνες, οι τύποι έγιναν πιο περίπλοκοι και η στιγμή ήρθε όταν ξεκίνησαν "τα πιο σύνθετα μαθηματικά - όλοι οι αριθμοί εξαφανίστηκαν από αυτό". Αλλά ποια ήταν η βάση;

Έναρξη της αρχής

Οι φυσικοί αριθμοί εμφανίστηκαν στο ίδιο επίπεδο με τις πρώτες μαθηματικές πράξεις. Μόλις μια σπονδυλική στήλη, δύο ρίζες, τρεις ρίζες ... Εμφανίστηκαν χάρη σε ινδικούς επιστήμονες που κατέληξαν στο πρώτο σύστημα αριθμητικών θέσεων. Η λέξη "positional" σημαίνει ότι η θέση κάθε ψηφίου στον αριθμό είναι αυστηρά καθορισμένη και αντιστοιχεί στην κατηγορία του. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 784 και 487 είναι οι ίδιοι αριθμοί, αλλά οι αριθμοί δεν είναι ισοδύναμοι, αφού ο πρώτος περιλαμβάνει εκατοντάδες, ενώ ο δεύτερος είναι μόνο 4. Η καινοτομία των Ινδιάνων λήφθηκε από τους Άραβες, οι οποίοι έφεραν τους αριθμούς στα είδη που γνωρίζουμε Τώρα.

Στην αρχαιότητα, οι αριθμοί έλαβαν μια μυστικιστική έννοια, ο μεγαλύτερος μαθηματικός Πυθαγόρας πίστευε ότι ο αριθμός υποτάσσει τη δημιουργία του κόσμου μαζί με τα κύρια στοιχεία - φωτιά, νερό, γη, αέρα. Αν σκεφτούμε τα πάντα από τη μαθηματική πλευρά, τότε τι είναι ένας φυσικός αριθμός; Το πεδίο των φυσικών αριθμών υποδηλώνεται με Ν και αντιπροσωπεύει μια άπειρη σειρά αριθμών που είναι ακέραιοι και θετικοί: 1, 2, 3, ... + ∞. Το μηδέν εξαιρείται. Χρησιμοποιείται κυρίως για την καταμέτρηση αντικειμένων και την παραγγελία.

Τι είναι ένας φυσικός αριθμός στα μαθηματικά; Axioms του Peano

Το πεδίο N είναι το βασικό πεδίο στο οποίο βασίζονται τα στοιχειώδη μαθηματικά. Με το πέρασμα του χρόνου διακρίνονταν πεδία με ακέραιους αριθμούς, λογικούς και περίπλοκους αριθμούς.

Τα έργα του ιταλικού μαθηματικού Giuseppe Peano κατέστησαν δυνατή την περαιτέρω διάρθρωση της αριθμητικής, επιτύγχαναν τις διατυπώσεις της και προετοίμαζαν το έδαφος για περαιτέρω συμπεράσματα πέρα από το πεδίο του πεδίου N. Αυτό που είναι ένας φυσικός αριθμός έχει διευκρινιστεί νωρίτερα από μια απλή γλώσσα, παρακάτω είναι ένας μαθηματικός ορισμός που βασίζεται στα αξιώματα του Peano.

• Μια μονάδα θεωρείται φυσικός αριθμός.
• Ο αριθμός που ακολουθεί τον φυσικό αριθμό είναι φυσικός.
• Πριν από την ενότητα δεν υπάρχει φυσικός αριθμός.
• Εάν ο αριθμός b ακολουθεί τόσο τον αριθμό c όσο και τον αριθμό d, τότε c = d.
• Το αξίωμα της επαγωγής, που με τη σειρά του δείχνει ότι ένας τέτοιος φυσικός αριθμός: εάν κάποια δήλωση που εξαρτάται από την παράμετρο είναι αληθής για τον αριθμό 1, τότε υποθέτουμε ότι δουλεύει για τον αριθμό n από το πεδίο των φυσικών αριθμών N. Στη συνέχεια ο ισχυρισμός ισχύει για n = 1 από το πεδίο των φυσικών αριθμών Ν.

Βασικές λειτουργίες για τον τομέα των φυσικών αριθμών

Δεδομένου ότι το πεδίο N ήταν το πρώτο για τους μαθηματικούς υπολογισμούς, είναι ότι τόσο ο τομέας του ορισμού όσο και το εύρος τιμών μιας σειράς λειτουργιών αναφέρονται παρακάτω. Είναι κλειστά και όχι. Η κύρια διαφορά είναι ότι οι κλειστές λειτουργίες είναι εγγυημένες ότι αφήνουν το αποτέλεσμα μέσα στο σύνολο Ν, ανεξάρτητα από το ποιοι είναι οι αριθμοί που εμπλέκονται. Αρκεί να είναι φυσικά. Το αποτέλεσμα των υπόλοιπων αριθμητικών αλληλεπιδράσεων δεν είναι πλέον τόσο ξεκάθαρο και εξαρτάται άμεσα από το ποιοι αριθμοί εμπλέκονται στην έκφραση, καθώς μπορεί να έρχονται σε αντίθεση με τον βασικό ορισμό. Έτσι, οι κλειστές λειτουργίες:

• Προσθήκη - x + y = z, όπου x, y, z περιλαμβάνονται στο πεδίο N.
• Πολλαπλασιασμός - x * y = z, όπου x, y, z περιλαμβάνονται στο πεδίο N,
• Exponentiation - x ^y , όπου x, y περιλαμβάνονται στο πεδίο N.

Άλλες πράξεις, τα αποτελέσματα των οποίων ενδέχεται να μην υπάρχουν στο πλαίσιο του ορισμού του «φυσικού αριθμού», είναι οι εξής:

• Αφαίρεση - x - y = z. Το πεδίο των φυσικών αριθμών το παραδέχεται μόνο στην περίπτωση που το x είναι μεγαλύτερο από το y.
• Διαίρεση - x / y = z. Το πεδίο των φυσικών αριθμών το παραδέχεται μόνο στην περίπτωση που το z είναι διαιρούμενο από το y χωρίς υπόλοιπο, δηλαδή, εντελώς.

Ιδιότητες των αριθμών που ανήκουν στο πεδίο N

Όλα τα περαιτέρω μαθηματικά επιχειρήματα θα βασίζονται στις ακόλουθες ιδιότητες, το πιο ασήμαντο, αλλά από αυτό δεν είναι λιγότερο σημαντικό.

• Η ιδιότητα μετατόπισης της προσθήκης είναι x + y = y + x, όπου οι αριθμοί x, y περιλαμβάνονται στο πεδίο Ν. Ή όλα τα γνωστά "το άθροισμα δεν αλλάζει από την αλλαγή των θέσεων των αθροισμάτων".
• Η ιδιότητα μετατόπισης του πολλαπλασιασμού είναι x * y = y * x, όπου οι αριθμοί x, y περιλαμβάνονται στο πεδίο N.
• Η συνδυαστική ιδιότητα της προσθήκης είναι (x + y) + z = x + (y + z), όπου το x, y, z περιλαμβάνονται στο πεδίο N.
• Η συνδυαστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού είναι (x * y) * z = x * (y * z), όπου οι αριθμοί x, y, z περιλαμβάνονται στο πεδίο N.
• Η ιδιότητα διανομής - x (y + z) = x * y + x * z, όπου οι αριθμοί x, y, z περιλαμβάνονται στο πεδίο N.

Πίνακας του Πυθαγόρα

Ένα από τα πρώτα βήματα στη γνώση των μαθητών για όλη τη δομή των στοιχειωδών μαθηματικών αφού έχουν καταλάβει από μόνοι τους ποιοι αριθμοί λέγονται φυσικοί είναι ο πίνακας του Πυθαγόρα. Μπορεί να θεωρηθεί όχι μόνο από την άποψη της επιστήμης, αλλά και ως ένα πολύτιμο επιστημονικό μνημείο.

Αυτός ο πίνακας πολλαπλασιασμού υπέστη πολλές αλλαγές με την πάροδο του χρόνου: από αυτό, το μηδέν αφαιρέθηκε και οι αριθμοί από το 1 έως το 10 υποδηλώνουν τον εαυτό τους, χωρίς να ληφθούν υπόψη οι εντολές (εκατοντάδες, χιλιάδες ...). Πρόκειται για έναν πίνακα στον οποίο οι επικεφαλίδες των σειρών και των στηλών είναι αριθμοί και το περιεχόμενο των κυψελών της τομής τους είναι ίσο με το προϊόν τους.

Στην πρακτική της διδασκαλίας των τελευταίων δεκαετιών, ήταν απαραίτητο να απομνημονεύσουμε το Πυθαγόρειο τραπέζι "με τη σειρά", δηλαδή, πρώτα υπήρχε απομνημόνευση. Ο πολλαπλασιασμός κατά 1 εξαλείφθηκε, αφού το αποτέλεσμα ήταν 1 ή περισσότερος πολλαπλασιαστής. Εν τω μεταξύ, στο τραπέζι με γυμνό μάτι μπορείτε να δείτε την κανονικότητα: το προϊόν των αριθμών αυξάνεται κατά ένα βήμα, το οποίο είναι ίσο με τον τίτλο της γραμμής. Έτσι, ο δεύτερος παράγοντας μας δείχνει πόσες φορές να πάρουμε το πρώτο, για να αποκτήσουμε το επιθυμητό προϊόν. Το σύστημα αυτό δεν είναι πιο βολικό από αυτό που ασκείται στο Μεσαίωνα: ακόμη και να συνειδητοποιήσει ποιος είναι ο φυσικός αριθμός και πόσο ασήμαντος είναι, οι άνθρωποι κατόρθωσαν να περιπλέξουν τον καθημερινό τους λογαριασμό χρησιμοποιώντας ένα σύστημα βασισμένο στις εξουσίες του διπλού.

Ένα υποσύνολο, όπως το λίκνο των μαθηματικών

Προς το παρόν, το πεδίο των φυσικών αριθμών Ν θεωρείται μόνο ως ένα από τα υποσύνολα σύνθετων αριθμών, αλλά αυτό δεν τους καθιστά λιγότερο πολύτιμους στην επιστήμη. Ο φυσικός αριθμός είναι το πρώτο πράγμα που μαθαίνει ένα παιδί, μελετώντας τον εαυτό του και τον κόσμο γύρω του. Ένα δάχτυλο, δύο δάχτυλα ... Χάρη σε αυτόν, ένα άτομο αναπτύσσει λογική σκέψη, καθώς και την ικανότητα να προσδιορίσει την αιτία και να εξάγει μια συνέπεια, προετοιμάζοντας το έδαφος για μεγαλύτερες ανακαλύψεις.