Μετασχηματισμό Fourier. μετασχηματισμό Fast Fourier. Διακριτός μετασχηματισμός Fourier

μετασχηματισμός Fourier - μετασχηματισμού, συσχετίζοντας μια συγκεκριμένη λειτουργία μιας πραγματικής μεταβλητής. Αυτή η λειτουργία εκτελείται κάθε φορά που αντιλαμβανόμαστε διαφορετικούς ήχους. Αυτί παράγει αυτόματα «υπολογισμό», που πληρούν τις αισθήσεις μας, δεν μπορεί παρά μετά την εξέταση του τμήματος της τριτοβάθμιας μαθηματικά. όργανο ακοής σε ένα ανθρώπινο μετασχηματισμό κατασκευασμάτων, στο οποίο ο ήχος (συμβατική παλμική κίνηση των σωματιδίων σε ένα ελαστικό μέσο, τα οποία διαδίδονται σε μορφή κύματος στο στερεό, υγρό ή αέριο μέσο) παρέχεται σε ένα εύρος διαδοχικές τιμές του επιπέδου έντασης των ήχων της διαφορετικά ύψη. Μετά από αυτό, ο εγκέφαλος μετατρέπει την πληροφορία σε όλα τα γνωστά ήχο.

Μαθηματική μετασχηματισμού Fourier

Μετατροπή των ηχητικών κυμάτων ή διεργασίες άλλες δόνηση (με εκπομπή φωτός και των ωκεανών παλίρροια και να αστρική ή ηλιακή κύκλοι) μπορεί να πραγματοποιηθεί και με τη βοήθεια μαθηματικών μεθόδων. Έτσι, χρησιμοποιώντας αυτές τις τεχνικές, οι λειτουργίες μπορεί να επεκταθεί με την εισαγωγή δονητική διεργασίες που του ημιτονοειδείς συνιστώσες, δηλ καμπύλες κυματιστές που πηγαίνουν από ένα ελάχιστο σε ένα μέγιστο και στη συνέχεια και πάλι σε ένα ελάχιστο, όπως το κύμα της θάλασσας. μετασχηματισμός Fourier - συνάρτηση μετασχηματισμού η οποία περιγράφει τη φάση ή το πλάτος του κάθε ημιτονοειδούς που αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη συχνότητα. Φάση είναι ένα σημείο εκκίνησης της καμπύλης, και το πλάτος - του ύψους του.

Μετασχηματισμού Fourier (παραδείγματα φαίνεται στη φωτογραφία) είναι ένα πολύ ισχυρό εργαλείο, το οποίο χρησιμοποιείται σε διάφορους τομείς της επιστήμης. Σε ορισμένες περιπτώσεις, χρησιμοποιείται ως διάλυμα μάλλον περίπλοκη εξισώσεις που περιγράφουν τις δυναμικές διεργασίες που συμβαίνουν υπό την επίδραση του φωτός, θερμότητας ή ηλεκτρικής ενέργειας. Σε άλλες περιπτώσεις, σας επιτρέπει να ορίσετε την τακτική συστατικά σε σύνθετες κυματομορφές, οφείλεται σε αυτό μπορεί να είναι αλήθεια να ερμηνεύσει διάφορες πειραματικές παρατηρήσεις στη χημεία, την ιατρική και την αστρονομία.

ιστορικές πληροφορίες

Το πρώτο πρόσωπο για να εφαρμόσει αυτή τη μέθοδο ήταν ο Γάλλος μαθηματικός Ζαν Batist Fure. Η μετατροπή, το όνομά του στη συνέχεια μετά από αυτόν, χρησιμοποιήθηκε αρχικά για να περιγράψει το μηχανισμό θερμική αγωγιμότητα. Fourier ολόκληρη την ενήλικη ζωή του, ασχολείται με τη μελέτη των ιδιοτήτων της θερμότητας. Έκανε μια τεράστια συνεισφορά στην μαθηματική θεωρία του προσδιορισμού των ριζών αλγεβρικών εξισώσεων. Fourier ήταν καθηγητής της ανάλυσης στο Ecole Polytechnique, ο Γραμματέας του Ινστιτούτου Αιγυπτιολογίας, ήταν η αυτοκρατορική υπηρεσία, η οποία προκάλεσε σάλο κατά τη στιγμή της κατασκευής του δρόμου προς Τορίνο (υπό την ηγεσία του είχε αποξηρανθεί πάνω από 80 χιλιάδες τετραγωνικά χιλιόμετρα της ελονοσίας βάλτους). Ωστόσο, όλα αυτά ακτιβισμός δεν εμπόδισε τον επιστήμονα που ασχολούνται με μαθηματική ανάλυση. Σε 1802 προήλθε μια εξίσωση που περιγράφει την διάδοση της θερμότητας στα στερεά. Το 1807, επιστήμονας ανακαλύψει μια μέθοδο για την επίλυση αυτής της εξίσωσης, η οποία έγινε γνωστή ως «μετασχηματισμός Fourier».

ανάλυση θερμική αγωγιμότητα

Οι ερευνητές χρησιμοποίησαν ένα μαθηματικό μέθοδο για να περιγράψει το μηχανισμό θερμική αγωγιμότητα. Μια βολική παράδειγμα, όπου δεν υπάρχει δυσκολία στον υπολογισμό είναι η διάδοση της θερμικής ενέργειας από έναν δακτύλιο σιδήρου, αφενός βυθισμένο σε μια πυρκαγιά. Για τη διεξαγωγή των πειραμάτων Fourier κόκκινο καυτό μέρος του δακτυλίου και να τον θάψει στην ψιλή άμμο. Στη συνέχεια, οι μετρήσεις θερμοκρασίας που πραγματοποιούνται στην αντίθετη πλευρά αυτής. Αρχικά, η κατανομή της θερμότητας είναι ακανόνιστη: μέρος του δακτυλίου - κρύο, και το άλλο - καυτό, μεταξύ των ζωνών μπορεί να παρατηρήσει μια απότομη βαθμίδα θερμοκρασίας. Ωστόσο, κατά τη διάρκεια της διανομής της θερμότητας σε όλη την επιφάνεια του μετάλλου, γίνεται πιο ομοιόμορφη. Έτσι, σύντομα, αυτή η διαδικασία παίρνει τη μορφή ενός ημιτονοειδούς κύματος. Πρώτη γράφημα αυξάνει βαθμιαία και επίσης μειώνεται ομαλά, με ακρίβεια τους νόμους της μεταβολής του συνημίτονου ή ημιτόνου λειτουργία. Wave σταδιακά εξισώνονται και ως εκ τούτου η θερμοκρασία καθίσταται ομοιόμορφη σε όλη την επιφάνεια του δακτυλίου.

Ο συγγραφέας αυτής της μεθόδου υποτίθεται ότι η αρχική κατανομή είναι αρκετά ακανόνιστη μπορεί να αναλυθεί σε ένα αριθμό στοιχειωδών ημιτονοειδών κυμάτων. Κάθε ένα από αυτά θα έχει φάση του (αρχική θέση) και τη μέγιστη θερμοκρασία του. Έτσι κάθε τέτοιες αλλαγές συστατικού από ένα ελάχιστο σε ένα μέγιστο και πίσω για να ολοκληρώσει περιστροφή γύρω από τους χρόνους του δακτυλίου ακέραιος. Συστατικό που έχει μια περίοδο που ονομάζεται η θεμελιώδης αρμονική, και την τιμή με δύο ή περισσότερες περιόδους - η δεύτερη και ούτω καθ 'εξής. Για παράδειγμα, μια μαθηματική συνάρτηση που περιγράφει την μέγιστη θερμοκρασία, η φάση ή τη θέση που ονομάζεται ο μετασχηματισμός Fourier της συναρτήσεως κατανομής. Επιστήμονας έφερε ένα και μόνο στοιχείο που είναι δύσκολο να μαθηματική περιγραφή, για την εύκολη στη χρήση εργαλείων - σειρές ημιτόνου και συνημίτονου, το ποσό της δίνει την αρχική κατανομή.

Η ουσία της ανάλυσης

Εφαρμόζοντας αυτή την ανάλυση με τη μετατροπή της διανομής θερμότητος επί του στερεού αντικειμένου, που έχει ένα δακτυλιοειδές σχήμα, ένας μαθηματικός αιτιολογημένη ότι η αύξηση περίοδοι ημιτονοειδείς συνιστώσες να οδηγήσει σε ταχεία απόσβεση της. Αυτό φαίνεται καθαρά στην κύρια και τη δεύτερη αρμονικές. Η τελική θερμοκρασία φθάνει δύο φορές τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές με ένα μόνο πέρασμα, καθώς και στην πρώτη - μόνο μία φορά. Αποδεικνύεται ότι η απόσταση που διανύεται από τη θερμότητα στην δεύτερη αρμονική είναι το μισό του πυρήνα. Επιπλέον, η κλίση του δεύτερου μισού θα είναι επίσης πιο απότομη από την πρώτη. Ως εκ τούτου, δεδομένου ότι ένα πιο έντονη θερμική ροή περνά χήρα ελάχιστη απόσταση, τότε αυτό θα απόσβεση αρμονικός τέσσερις φορές ταχύτερα από ό, τι το κύριο, ως μία συνάρτηση του χρόνου. Στην ακόλουθη διαδικασία θα είναι ακόμη πιο γρήγορα. Μαθηματικός Πιστεύεται ότι η μέθοδος αυτή μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τη διαδικασία της αρχικής κατανομής της θερμοκρασίας με το χρόνο.

Καλέστε τους συγχρόνους

Μετασχηματισμού Fourier αλγόριθμος έχει γίνει μια πρόκληση για τα θεωρητικά θεμέλια των μαθηματικών στο χρόνο. Στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα, οι περισσότεροι επιφανείς επιστήμονες, συμπεριλαμβανομένου του Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre και Biot δεν δέχθηκε τον ισχυρισμό του ότι η θερμοκρασία της αρχικής κατανομής αποσυντίθεται στα συστατικά με τη μορφή του θεμελιώδους κύματος και υψηλότερη συχνότητα. Ωστόσο, η Ακαδημία των Επιστημών δεν μπορούσε να αγνοήσει τα αποτελέσματα που προέκυψαν μαθηματικός, και του απένειμε το βραβείο για τη θεωρία της θερμότητας αγωγιμότητας των νόμων, καθώς και τη διεξαγωγή σχέση του με τη φυσική πειράματα. Στην προσέγγιση Fourier, η κύρια αντίρρηση είναι το γεγονός ότι μία ασυνεχής λειτουργία αντιπροσωπεύεται από ένα άθροισμα πολλών ημιτονοειδών λειτουργίες, οι οποίες είναι συνεχείς. Μετά από όλα, περιγράφουν το σκάσιμο ευθείες και καμπύλες γραμμές. Σύγχρονη επιστήμονας ποτέ δεν είχε αντιμετωπίσει μια τέτοια κατάσταση, όταν οι ασυνεχείς λειτουργίες που περιγράφονται από έναν συνδυασμό των συνεχών, όπως τετραγωνική, γραμμική, sine ή εκθέτη. Σε περίπτωση που ένας μαθηματικός είχε δίκιο σε ισχυρισμούς του, το ποσό του ενός άπειρου σειρά τριγωνομετρικές συναρτήσεις θα πρέπει να περιορίζεται στην ακριβή ταχύτητα. Ενώ μια τέτοια αξίωση φαίνεται παράλογο. Ωστόσο, παρά τις αμφιβολίες ορισμένων ερευνητών (π.χ. Claude Navier, Σόφη Zhermen) διεύρυνε το πεδίο της έρευνας και τους έφερε από την ανάλυση της διανομής θερμότητας. Ένα μαθηματικά, εν τω μεταξύ, συνέχισε να υφίσταται το ζήτημα του κατά πόσον ένα ποσό αρκετών ημιτονοειδούς λειτουργίες ανάγεται σε μια ακριβή αναπαράσταση της διάρρηξης.

ιστορία 200 ετών

Αυτή η θεωρία έχει εξελιχθεί με την πάροδο δύο αιώνες, σήμερα είναι τελικά διαμορφώνεται. Με τη βοήθεια των χωρική ή χρονική λειτουργίες θραύονται σε ημιτονοειδή συστατικά που έχουν μια συχνότητα, φάση και το πλάτος. Αυτή η μετατροπή επιτυγχάνεται με δύο διαφορετικές μαθηματικές μεθόδους. Το πρώτο από αυτά χρησιμοποιείται στην περίπτωση όταν η πηγή είναι μια συνεχής συνάρτηση, και το δεύτερο - στην περίπτωση όπου εκπροσωπείται από ένα πλήθος διακριτών επιμέρους αλλαγές. Εάν η έκφραση λαμβάνεται από τις τιμές, οι οποίες καθορίζονται σε διακριτά χρονικά διαστήματα, μπορεί να διαιρεθεί σε αρκετές διακριτές συχνότητες ημιτονοειδή εκφράσεις - από το χαμηλότερο και στη συνέχεια διπλασιάστηκε, τριπλασιάστηκε, και ούτω καθεξής πάνω από τη θεμελιώδη. Το ποσό αυτό ονομάζεται η σειρά Fourier. Εάν η αρχική έκφραση ορίζει την τιμή της κάθε πραγματικό αριθμό, μπορεί να χωριστεί σε πολλαπλές ημιτονοειδή όλες τις πιθανές συχνότητες. Ονομάζεται ένα Fourier αναπόσπαστο, και η απόφαση συνεπάγεται μεταμόρφωση του ολοκληρώματος λειτουργίας. Ανεξάρτητα από τη μέθοδο για την απόκτηση μετασχηματισμό, για κάθε συχνότητα θα πρέπει να αναφέρει δύο αριθμούς: πλάτος και συχνότητα. Αυτές οι τιμές εκφράζονται ως ενιαία μιγαδικού αριθμού. Έκφραση σύνθετες μεταβλητές θεωρία μαζί με μετασχηματισμό Fourier για την εκτέλεση υπολογισμών επέτρεψε τον σχεδιασμό των διαφόρων ηλεκτρικών κυκλωμάτων, η ανάλυση των μηχανικών δονήσεων, η μελέτη του μηχανισμού διάδοσης κύματος και ένα άλλο.

Μετασχηματισμού Fourier σήμερα

Σήμερα, η μελέτη αυτής της διαδικασίας βράζει ουσιαστικά κάτω για να βρουν αποτελεσματικές μεθόδους για τη μετάβαση από τη λειτουργία για να το μετατρέψει πίσω στο μυαλό. Αυτό το διάλυμα ονομάζεται μετασχηματίσει το άμεσο και αντίστροφο Fourier. Τι σημαίνει αυτό; Προκειμένου να προσδιοριστεί το αναπόσπαστο και να μετατρέψει μια άμεση Fourier, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μαθηματικές μεθόδους, αλλά μπορείτε να Αναλυτικές. Παρά το γεγονός ότι όταν χρησιμοποιούνται στην πράξη υπάρχουν κάποιες δυσκολίες, οι περισσότεροι ολοκληρώματα έχουν ήδη βρεθεί και τέθηκε στη μαθηματική εγχειρίδια. Με τη βοήθεια των αριθμητικών μεθόδων μπορεί να υπολογιστεί εκφράσεις, το σχήμα του οποίου βασίζεται στα πειραματικά δεδομένα, μια λειτουργία του οποίου λείπουν ολοκληρώματα στους πίνακες, και είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς σε μια αναλυτική μορφή.

Πριν από την έλευση των υπολογισμών μηχανικών υπολογιστών όπως μετασχηματισμούς ήταν πολύ κουραστική, απαιτούν χειροκίνητη εκτέλεση ενός μεγάλου αριθμού αριθμητικών πράξεων που εξαρτώνται από τον αριθμό των σημείων που περιγράφουν την κυματοσυνάρτηση. Για να διευκολυνθεί η διευθέτηση σήμερα, υπάρχουν ειδικά προγράμματα, επέτρεψε την εφαρμογή νέων αναλυτικών μεθόδων. Έτσι, το 1965, Dzheyms Kuli και Dzhon Tyuki δημιούργησε λογισμικό που έγινε γνωστό ως "Fast Fourier Transform". Εξοικονομεί το χρόνο του υπολογισμού, μειώνοντας τον αριθμό των πολλαπλασιασμών στην ανάλυση της καμπύλης. «Fast Fourier Transform» Η μέθοδος βασίζεται στην διαίρεση της καμπύλης σε ένα μεγάλο αριθμό των ενιαίων τιμών δείγματος. Κατά συνέπεια, ο αριθμός των πολλαπλασιασμών μειώνεται κατά το ήμισυ στην ίδια μείωση του αριθμού των σημείων.

Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό του Fourier

Αυτή η διαδικασία χρησιμοποιείται σε διάφορους τομείς: Σε αριθμό θεωρία, φυσικής, επεξεργασία σήματος, Συνδυαστική, θεωρία πιθανοτήτων, κρυπτογραφία, στατιστικά, ωκεανογραφία, οπτική, ακουστική, και άλλες γεωμετρίες. Οι Rich δυνατότητες για τη χρήση του βασίζεται σε μια σειρά από χρήσιμες λειτουργίες, οι οποίες ονομάζονται «ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier.» Ας τα εξετάσουμε.

1. Η λειτουργία μετατροπής είναι ένα γραμμικό φορέα και μία αντίστοιχη κανονικοποίηση είναι ενιαία. Αυτή η ιδιότητα είναι γνωστή ως το θεώρημα Parseval, ή στην γενική περίπτωση, το θεώρημα Plansherelja ή Pontrjagin δυϊσμό.

2. Η μετατροπή είναι αναστρέψιμη. Επιπλέον, το αντίθετο αποτέλεσμα είναι ουσιαστικά παρόμοιο σχήμα όπως στην άμεση αντιμετώπιση.

3. Οι ημιτονοειδείς βασικές εκφράσεις είναι δική τους διαφοροποιημένες λειτουργίες. Αυτό σημαίνει ότι η παρουσίαση αυτή αλλάζει γραμμικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές σε ένα συμβατικό αλγεβρικό.

4. Σύμφωνα με το θεώρημα «συνέλιξη», η διαδικασία κάνει μια σύνθετη λειτουργία σε στοιχειώδη πολλαπλασιασμού.

5. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier μπορούν να σχεδιαστούν γρήγορα σε έναν υπολογιστή χρησιμοποιώντας το «γρήγορο» μέθοδο.

Παραλλαγές του μετασχηματισμού Fourier

1. Τις περισσότερες φορές ο όρος χρησιμοποιείται για να αναφερθεί σε μια συνεχή μετασχηματισμό, παρέχοντας κάθε quadratically ολοκληρώσιμη έκφρασης ως το άθροισμα των σύνθετων εκθετικών έκφρασης με συγκεκριμένες γωνιακές συχνότητες και πλάτη. Αυτό το είδος έχει πολλές διαφορετικές μορφές, οι οποίες μπορεί να είναι διαφορετική σταθερούς συντελεστές. Η συνεχής μέθοδος περιλαμβάνει έναν πίνακα μετατροπής, η οποία μπορεί να βρεθεί σε μαθηματική εγχειρίδια. Μια γενικευμένη περίπτωση είναι η κλασματική μετατροπή, σύμφωνα με την οποία η διαδικασία αυτή μπορεί να αυξηθεί στην επιθυμητή πραγματική δύναμη.

2. Η συνεχής μέθοδος είναι μια γενίκευση της νωρίτερα τεχνικής των σειρών Fourier ορίζεται για οποιεσδήποτε περιοδικές συναρτήσεις ή εκφράσεις, που υπάρχουν σε μια περιορισμένη περιοχή και να τους αντιπροσωπεύουν ως μια σειρά ημιτονοειδών.

3. Διαφορετικοί μετασχηματισμού Fourier. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται στον υπολογισμό για επιστημονικούς υπολογισμούς και επεξεργασία ψηφιακού σήματος. Για να πραγματοποιήσει αυτόν τον τύπο υπολογισμού απαιτείται να έχει μια λειτουργία του προσδιορισμού σε ένα διακριτό σύνολο μεμονωμένων σημείων, περιοδική ή περιορισμένη περιοχή, αντί της συνεχούς ολοκληρώματα Fourier. τη μετατροπή σήματος στην περίπτωση αυτή παριστάνεται ως ένα άθροισμα ημιτονοειδών. Η χρήση του «γρήγορα» μέθοδος επιτρέπει τη χρήση των ψηφιακών λύσεων για όλους τους πρακτικούς σκοπούς.

4. Το παράθυρο μετασχηματισμού Fourier είναι μία γενικευμένη άποψη του κλασικού μεθόδου. Σε αντίθεση με πρότυπα διαλύματα όταν χρησιμοποιείται το φάσμα σήμα, το οποίο λαμβάνεται σε όλο το φάσμα της ύπαρξης αυτής της μεταβλητής είναι ιδιαίτερου ενδιαφέροντος εδώ είναι μόνο η τοπική διανομή συχνότητας, διατηρώντας παράλληλα την αρχική μεταβλητή (χρόνος).

5. Το δισδιάστατο μετασχηματισμό Fourier. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται για να συνεργαστεί με δύο διαστάσεων συστοιχίες των δεδομένων. Σε μια τέτοια περίπτωση, η μετατροπή εκτελείται σε μία κατεύθυνση, και στη συνέχεια - στο άλλο.

συμπέρασμα

Σήμερα, η μέθοδος Fourier είναι σταθερά εδραιωμένη στους διάφορους τομείς της επιστήμης. Για παράδειγμα, το 1962 άνοιξε το σχήμα της διπλής έλικας του DNA χρησιμοποιώντας ανάλυση Fourier σε συνδυασμό με περίθλαση ακτίνων Χ. Πρόσφατες κρύσταλλοι επικεντρώθηκε σε ίνες DNA, οδηγώντας σε μια εικόνα που λαμβάνεται με περίθλαση, καταγράφεται στο φιλμ. Η εικόνα αυτή έδωσε πληροφορίες σχετικά με την τιμή του πλάτους χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό Fourier σε αυτή την κρυσταλλική δομή. δεδομένων φάση που λαμβάνεται με τη σύγκριση των καρτών περίθλασης DNA με κάρτες που λαμβάνονται στην ανάλυση παρόμοιων χημικών δομών. Ως αποτέλεσμα, οι βιολόγοι αποκατασταθεί κρυσταλλική δομή - η αρχική λειτουργία.

Μετασχηματισμού Fourier παίξει τεράστιο ρόλο στη μελέτη του διαστήματος, της φυσικής των υλικών ημιαγωγών και πλάσματος, ακουστική μικροκυμάτων, ωκεανογραφία, ραντάρ, σεισμολογία και ιατρικές εξετάσεις.