Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου. Το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου

Το τρίγωνο είναι ένα πολύγωνο που έχει τρεις πλευρές (τρεις γωνίες). Τις περισσότερες φορές, το μέρος που συμβολίζεται με μικρά γράμματα αντιστοιχούν κεφαλαία γράμματα, τα οποία αντιπροσωπεύουν απέναντι κορυφές. Σε αυτό το άρθρο θα ρίξουμε μια ματιά σε αυτά τα είδη των γεωμετρικών σχημάτων, θεώρημα, το οποίο καθορίζει τι είναι ίση με το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου.

Τύποι μεγαλύτερες γωνίες

Οι ακόλουθοι τύποι πολύγωνο με τρεις κορυφές:

• οξεία ορθογώνιο, κατά την οποία όλες οι γωνίες είναι αιχμηρά?
• ορθογώνιο που έχει μια ορθή γωνία, από την πλευρά που σχηματίζει αυτό, που αναφέρεται στα πόδια, και η πλευρά που είναι τοποθετημένη απέναντι από την ορθή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα?
• αμβλεία όταν κάποιος γωνία είναι αμβλεία ?
• ισοσκελές, των οποίων οι δύο πλευρές είναι ίσες, και ονομάζονται πλευρικά, και το τρίτο - ένα τρίγωνο με μια βάση?
• ισόπλευρο έχει τρεις ίσες πλευρές.

ιδιότητες

Κατανέμει τις βασικές ιδιότητες που είναι χαρακτηριστικές κάθε τύπου τριγώνου:

• απέναντι η μεγαλύτερη πλευρά είναι πάντα μεγαλύτερη γωνία, και αντιστρόφως?
• είναι ίσες γωνίες απέναντι από το ίσο-μεγαλύτερο κόμμα, και αντιστρόφως?
• σε οποιαδήποτε τρίγωνο έχει δύο οξείες γωνίες?
• εξωτερική γωνία μεγαλύτερη από οποιαδήποτε εσωτερική γωνία δεν δίπλα σε αυτό?
• το άθροισμα των δύο οποιωνδήποτε γωνιών είναι πάντα μικρότερη από 180 μοίρες?
• εξωτερική γωνία ισούται με το άθροισμα των άλλων δύο γωνίες, οι οποίες δεν mezhuyut μαζί του.

Το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου

Το θεώρημα δηλώνει ότι αν προσθέσουμε όλες τις γωνιές του γεωμετρικού σχήματος, το οποίο βρίσκεται στο Ευκλείδειο επίπεδο, τότε το άθροισμά τους θα είναι 180 μοίρες. Ας προσπαθήσουμε να αποδείξουμε αυτό το θεώρημα.

Ας έχουμε μια αυθαίρετη τρίγωνο με κορυφές KMN. Πέρα από την κορυφή του M θα πραγματοποιήσει μια άμεση παράλληλη προς τη γραμμή KN (ακόμη και αυτή η γραμμή ονομάζεται Euclid). Θα πρέπει να σημειωθεί το σημείο Α, έτσι ώστε τα σημεία Κ και Α είναι διατεταγμένα από διαφορετικές πλευρές της γραμμής ΜΝ. Παίρνουμε την ίδια γωνία των AMS και MUF, η οποία, όπως και το εσωτερικό, βρίσκονται σταυρωτά για να σχηματίσουν τεμνόμενες ΜΝ σε συνδυασμό με άμεση CN και ΜΑ, οι οποίες είναι παράλληλες. Από τα ανωτέρω προκύπτει ότι το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου, που βρίσκεται εις τις κορυφές των Μ και Ν είναι ίσο με το μέγεθος της γωνίας CMA. Και οι τρεις γωνίες αποτελούνται από ένα ποσό που ισούται με το άθροισμα των γωνιών της ΚΜΑ και MCS. Δεδομένου ότι τα δεδομένα είναι εσωτερικές γωνίες σε σχέση όψης παράλληλες γραμμές CL και CM ΜΑ σε τεμνόμενα, το άθροισμά τους είναι 180 μοίρες. Αυτό αποδεικνύει το θεώρημα.

αποτέλεσμα

Από τα παραπάνω, η παραπάνω θεώρημα συνεπάγεται την ακόλουθη συνέπεια: κάθε τρίγωνο έχει δύο οξείες γωνίες. Για να αποδειχθεί αυτό, ας υποθέσουμε ότι αυτό το γεωμετρικό σχήμα έχει μόνο μία οξεία γωνία. Μπορείτε επίσης να υποθέσουμε ότι καμία από τις γωνίες δεν είναι απότομη. Σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να είναι τουλάχιστον δύο γωνίες, το μέγεθος των οποίων είναι ίση ή μεγαλύτερη από 90 μοίρες. Στη συνέχεια, όμως το άθροισμα των γωνιών είναι μεγαλύτερη από 180 μοίρες. Αλλά αυτό δεν μπορεί να είναι, όπως σύμφωνα με τις γωνίες θεώρημα άθροισμα ενός τριγώνου είναι ίσο με 180 ° - όχι περισσότερο, όχι λιγότερο. Αυτό είναι ό, τι έπρεπε να αποδειχθεί.

Ακίνητα έξω από γωνίες

Ποιο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου, που είναι εξωτερικά; Η απάντηση στο ερώτημα αυτό μπορεί να επιτευχθεί με την εφαρμογή δύο τρόπους. Το πρώτο είναι ότι θα πρέπει να βρούμε το άθροισμα των γωνιών, τα οποία λαμβάνονται ένα σε κάθε κορυφή, δηλαδή, τρεις γωνίες. Η δεύτερη σημαίνει ότι θα πρέπει να βρείτε το άθροισμα των έξι γωνίες στις κορυφές. Για την αντιμετώπιση της έναρξης της πρώτης εφαρμογής. Έτσι, το τρίγωνο περιέχει έξι εξωτερικές γωνίες - στην κορυφή του καθενός από τα δύο. Κάθε ζευγάρι έχει ίσες γωνίες μεταξύ τους, δεδομένου ότι είναι κάθετη:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Επιπλέον, είναι γνωστό ότι η εξωτερική γωνία ενός τριγώνου ισούται με το άθροισμα των δύο εσωτερικού, οι οποίες δεν είναι mezhuyutsya μαζί του. Ως εκ τούτου,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Από αυτό φαίνεται ότι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών, τα οποία λαμβάνονται ένα προς ένα κοντά σε κάθε κορυφή θα είναι ίση με:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 χ (∟A + ∟V ∟S +).

Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι το άθροισμα των γωνιών είναι ίσο με 180 μοίρες, μπορεί να υποστηριχθεί ότι ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Αυτό σημαίνει ότι ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 χ 180 ° = 360 °. Αν χρησιμοποιηθεί η δεύτερη επιλογή, το άθροισμα των έξι γωνίες θα είναι αντίστοιχα μεγαλύτερη δύο φορές. Δηλαδή το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου έξω θα είναι:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 χ (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

ορθογώνιο τρίγωνο

Τι είναι ίση με το άθροισμα των γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου, είναι το νησί; Η απάντηση είναι, και πάλι, από το θεώρημα, το οποίο αναφέρει ότι οι γωνίες ενός τριγώνου προσθέσετε έως και 180 μοίρες. Ένας ήχος ισχυρισμό μας (ιδιοκτησία) ως εξής: σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο αιχμηρές γωνίες προσθέσετε έως και 90 βαθμούς. Έχουμε αποδείξει την ειλικρίνεια της. Ας μην υπάρχει δεδομένο τρίγωνο KMN, η οποία ∟N = 90 °. Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι ∟K ∟M = + 90 °.

Έτσι, σύμφωνα με το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. Σε αυτή την κατάσταση λέγεται ότι ∟N = 90 °. Αποδεικνύεται ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Αυτό είναι ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Γι 'αυτό οφείλουμε να αποδείξουμε.

Εκτός από τις παραπάνω ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου, μπορείτε να προσθέσετε αυτά:

• γωνίες, οι οποίες βρίσκονται πάνω στα πόδια είναι αιχμηρά?
• η υποτείνουσα του τριγωνικού μεγαλύτερη από ό, τι οποιοδήποτε από τα πόδια?
• το άθροισμα των ποδιών πάνω από το υποτείνουσας?
• σκέλος του τριγώνου, το οποίο βρίσκεται απέναντι από την γωνία 30 μοιρών, το μισό της υποτείνουσας, που είναι ίσο με το μισό της.

Ως μια άλλη ιδιότητα του γεωμετρικού σχήματος μπορεί να διακριθεί Πυθαγόρειο θεώρημα. Υποστηρίζει ότι σε ένα τρίγωνο με γωνία 90 μοιρών (ορθογώνια), το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας.

Το άθροισμα των γωνιών ενός ισοσκελούς τριγώνου

Νωρίτερα είπαμε ότι ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα πολύγωνο με τρεις κορυφές, που περιέχει δύο ίσες πλευρές. Αυτή η ιδιότητα είναι γνωστή γεωμετρικό σχήμα: οι γωνίες στη βάση του ίσες. Ας το αποδείξει.

Πάρτε το τρίγωνο KMN, η οποία είναι ισοσκελές, SC - βάση του. Είμαστε υποχρεωμένοι να αποδείξουν ότι ∟K = ∟N. Έτσι, ας υποθέσουμε ότι η MA - KMN είναι η διχοτόμος του τριγώνου μας. ICA τρίγωνο με το πρώτο σημάδι της ισότητας τριγώνου ΜΝΑ. Δηλαδή, με την υπόθεση δεδομένου ότι CM = NM, ΜΑ είναι μια κοινή πλευρά, ∟1 = ∟2, επειδή ΜΑ - αυτό διχοτόμος. Χρησιμοποιώντας την ισότητα των δύο τρίγωνα, θα μπορούσε κανείς να υποστηρίξει ότι ∟K = ∟N. Ως εκ τούτου, το θεώρημα αποδεικνύεται.

Αλλά μας ενδιαφέρει, αυτό που είναι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου (ισοσκελές). Επειδή το θέμα αυτό δεν έχει τα χαρακτηριστικά της, θα ξεκινήσει από το θεώρημα συζητήθηκε προηγουμένως. Δηλαδή, μπορούμε να πούμε ότι ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, ή 2 χ ∟K ∟M + = 180 ° (ως ∟K = ∟N). Αυτό δεν θα αποδειχθεί το ακίνητο, όπως το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου αποδείχθηκε νωρίτερα.

Εκτός από τις θεωρηθεί ιδιότητες των γωνιών ενός τριγώνου, υπάρχουν και τέτοιες σημαντικές δηλώσεις:

• σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ύψος, το οποίο είχε μειωθεί με τη βάση, είναι ταυτόχρονα η διάμεσος διχοτόμος της γωνίας που είναι μεταξύ των ίσες πλευρές και τον άξονα συμμετρίας της βάσης του?
• διάμεση (διχοτόμο, υψόμετρο), τα οποία συγκρατούνται στις πλευρές ενός γεωμετρικού σχήματος, είναι ίσες.

ισόπλευρο τρίγωνο

Καλείται, επίσης, το δικαίωμα, είναι το τρίγωνο, που είναι ίση για όλα τα μέρη. Και ως εκ τούτου, επίσης, ίσες και τις γωνίες. Κάθε ένα από αυτά είναι 60 μοίρες. Ας αποδείξουμε αυτή την ιδιότητα.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τρίγωνο KMN. Γνωρίζουμε ότι ΚΜ = HM = KH. Αυτό σημαίνει ότι, σύμφωνα με την ιδιότητα των γωνιών που βρίσκεται στη βάση σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ∟K = ∟M = ∟N. Δεδομένου ότι, σύμφωνα με το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου θεώρημα ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, τότε x 3 = 180 ° ∟K ή ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Έτσι, ο ισχυρισμός αποδεικνύεται. Όπως φαίνεται από τα παραπάνω στοιχεία με βάση την ανωτέρω θεώρημα, το άθροισμα των γωνιών ενός ισόπλευρου τριγώνου, ως το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε άλλου τριγώνου είναι 180 μοίρες. Πάλι αποδεικνύεται αυτό το θεώρημα δεν είναι απαραίτητη.

Υπάρχουν ακόμα μερικές χαρακτηριστικές ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου:

• διάμεση ύψος διχοτόμο σε ένα γεωμετρικό σχήμα πανομοιότυπο, και το μήκος τους υπολογίζεται ως (ένα χ √3): 2?
• αν αυτό πολύγωνο που περιβάλλει τον κύκλο, τότε η ακτίνα θα είναι ίση με (ένα χ √3): 3?
• αν εγγεγραμμένο σε ένα κύκλο ισόπλευρο τρίγωνο, η ακτίνα του θα είναι (α χ √3): 6?
• περιοχή του γεωμετρικού σχήματος υπολογίζεται από τον τύπο: (a2 χ √3): 4.

αμβλεία τρίγωνο

Εξ ορισμού, μια αμβλεία ορθογώνιο τρίγωνο, μια από τις γωνίες του είναι μεταξύ 90 και 180 μοίρες. Αλλά με δεδομένο το γεγονός ότι οι άλλες δύο γωνίες του γεωμετρικού σχήματος έντονη, μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι δεν υπερβαίνει τα 90 μοίρες. Ως εκ τούτου, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου θεώρημα λειτουργεί κατά τον υπολογισμό του αθροίσματος των γωνιών σε αμβλεία τρίγωνο. Έτσι, μπορούμε με ασφάλεια να πούμε, με βάση τα παραπάνω θεώρημα ότι το άθροισμα των αμβλείες γωνίες ενός τριγώνου είναι 180 μοίρες. Και πάλι, αυτό το θεώρημα δεν χρειάζεται να ξανά-απόδειξη.