Άλυτο πρόβλημα: Navier-Stokes εξισώσεις, η εικασία Hodge, η υπόθεση Riemann. στόχοι της Χιλιετίας

Άλυτο πρόβλημα - ένα 7 ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα. Κάθε ένα από αυτά έχει προταθεί σε ένα χρόνο διάσημους επιστήμονες, συνήθως με τη μορφή των υποθέσεων. Για πολλές δεκαετίες, για την επίλυσή τους ξύνουν τα κεφάλια των μαθηματικών τους σε όλο τον κόσμο. Εκείνοι που πετυχαίνουν, περιμένοντας για μια ανταμοιβή του ενός εκατομμυρίου δολαρίων που προσφέρονται από το Ινστιτούτο Clay.

προϊστορία

Το 1900, ο μεγάλος Γερμανός μαθηματικός David Hilbert βαγόνι, παρουσίασε μια λίστα με 23 προβλήματα.

Η έρευνα που διεξάγεται με σκοπό την απόφασή τους, είχαν τεράστια επίδραση στην επιστήμη του 20ου αιώνα. Προς το παρόν, οι περισσότεροι από αυτούς έχουν ήδη πάψει να είναι ένα μυστήριο. Μεταξύ των άλυτα ή μερικώς λυθεί ήταν:

• το πρόβλημα της συνέπειας των αξιωμάτων της αριθμητικής?
• το γενικό δίκαιο της αμοιβαιότητας στο χώρο της κάθε αριθμητικό πεδίο?
• μαθηματική μελέτη της φυσικής αξιώματα?
• μελέτη τετραγωνικές μορφές για την αυθαίρετη αλγεβρικό συντελεστές αριθμό?
• πρόβλημα αυστηρή αιτιολόγηση enumerative γεωμετρία Fedor Schubert?
• και ούτω καθεξής.

Ανεξερεύνητη κατανέμονται πρόβλημα για κάθε αλγεβρικό ορθολογισμού περιοχή που είναι γνωστή Kronecker θεώρημα και την εικασία του Riemann .

Ινστιτούτο Clay

Σύμφωνα με αυτό το όνομα είναι γνωστό ιδιωτικό μη κερδοσκοπικό οργανισμό, με έδρα το Κέμπριτζ της Μασαχουσέτης. Ιδρύθηκε το 1998 από το Harvard μαθηματικός και επιχειρηματίας Α Jeffrey Λ Clay. Ο σκοπός του Ινστιτούτου είναι να προωθήσει και να αναπτύξει τη μαθηματική γνώση. Για να επιτευχθεί αυτή η οργάνωση δίνει βραβεία σε επιστήμονες και χορηγίες πολλά υποσχόμενη έρευνα.

Στις αρχές του 21ου αιώνα Clay Μαθηματική Institute έχει προσφέρει ένα premium σε αυτούς που θα λύσει τα προβλήματα, τα οποία είναι γνωστά ως το πιο σύνθετο άλυτο πρόβλημα, καλώντας τη λίστα των Προβλήματα βραβείων χιλιετίας. Από τη «Λίστα του Hilbert» έγινε μόνο η υπόθεση Riemann.

στόχοι της Χιλιετίας

Στη λίστα του Ινστιτούτου Clay αρχικά περιλαμβάνονται:

• Hodge εικασίες για κύκλους?
• οι εξισώσεις της κβαντικής θεωρίας Yang - Mills?
• Poincaré εικασίες ?
• το πρόβλημα της ισότητας των κλάσεων P και NP?
• Riemann υπόθεση?
• Navier-Stokes εξισώσεις, η ύπαρξη και η ομαλότητα των αποφάσεων του?
• πρόβλημα Birch - Swinnerton-Dyer.

Αυτά τα ανοικτά προβλήματα μαθηματικών έχουν μεγάλο ενδιαφέρον, επειδή μπορεί να έχει πολλές πρακτικές εφαρμογές.

Αυτό που αποδείχθηκε Grigoriy Perelman

Το 1900, ο διάσημος επιστήμονας και φιλόσοφος Ανρί Puankare πρότεινε ότι κάθε απλά συνδεδεμένη συμπαγής 3-πολλαπλότητα χωρίς όριο είναι homeomorphic στη σφαίρα 3-διαστάσεων. Η απόδειξη στη γενική περίπτωση δεν ήταν σε πάνω από έναν αιώνα. Μόνο κατά την περίοδο 2002-2003, η Αγία Πετρούπολη μαθηματικός Γ Perelman δημοσίευσε μια σειρά άρθρων με τη λύση του προβλήματος Poincare. Θα αιφνιδιαστικούς. Το 2010, η εικασία Poincaré έχει εξαιρεθεί από τον κατάλογο των «άλυτο πρόβλημα» Clay Institute, και να Perelman κλήθηκε να πάρει μια σημαντική αμοιβή που οφείλεται σ 'αυτόν, που ο τελευταίος αρνήθηκε, χωρίς να εξηγεί τους λόγους της απόφασής του.

Η πιο κατανοητή εξήγηση για το τι θα μπορούσε να αποδειχθεί ρώσος μαθηματικός, μπορεί να δοθεί, με την προϋπόθεση ότι ένα ντόνατ (σπείρας), τραβήξτε το δίσκο από καουτσούκ, και στη συνέχεια προσπαθήστε να τραβήξει την άκρη της περιφέρειας του σε ένα σημείο. Προφανώς, αυτό είναι αδύνατο. Ένα άλλο πράγμα είναι, αν κάνουμε αυτό το πείραμα με την μπάλα. Σε αυτή την περίπτωση, φαίνεται να είναι τρισδιάστατη σφαίρα, παίρνουμε από την περιφέρεια του δίσκου δεμένο στο σημείο υποθετικό καλώδιο είναι τριών διαστάσεων στην κατανόηση του μέσου ανθρώπου, αλλά μια δισδιάστατη άποψη των μαθηματικών.

Poincare πρότεινε ότι η τρισδιάστατη σφαίρα είναι ο μόνος τρισδιάστατο «αντικείμενο», η επιφάνεια των οποίων μπορεί να ανατίθενται σε ένα μόνο σημείο, και Perelman ήταν σε θέση να το αποδείξει. Έτσι, η «άλυτο πρόβλημα» λίστα αποτελείται πλέον από 6 προβλήματα.

θεωρίας Yang-Mills

Αυτό το μαθηματικό πρόβλημα έχει προταθεί από τους συγγραφείς το 1954. Επιστημονική διατύπωση της θεωρίας είναι η ακόλουθη: για υπάρχει οποιαδήποτε απλή συμπαγής ομάδα gauge χώρο κβαντική θεωρία δημιουργήθηκε από Yang και Millsom, και έτσι έχει μηδενική μάζα ελάττωμα.

Μιλώντας τη γλώσσα κατανοητή από τον συνηθισμένο πρόσωπο, η αλληλεπίδραση μεταξύ των φυσικών αντικειμένων (. Σωματίδια, φορείς, τα κύματα, κλπ) χωρίζονται σε 4 τύπους: ηλεκτρομαγνητική, βαρυτική, ασθενής και ισχυρή. Για πολλά χρόνια, οι φυσικοί προσπαθούν να δημιουργήσουν μια γενική θεωρία πεδίου. Πρέπει να γίνει ένα εργαλείο για να εξηγήσει όλες αυτές τις αλληλεπιδράσεις. θεωρίας Yang-Mills - μια μαθηματική γλώσσα με την οποία ήταν δυνατό να περιγράψουν 3 από τις 4 βασικές δυνάμεις της φύσης. Αυτό δεν ισχύει για τη βαρύτητα. Ως εκ τούτου δεν μπορούμε να υποθέσουμε ότι Yang και Mills ήταν σε θέση να αναπτύξει μια θεωρία του πεδίου.

Επιπλέον, η μη-γραμμικότητα των προτεινόμενων εξισώσεων καθιστά εξαιρετικά δύσκολο να επιλυθούν. καταφέρουν να λύσουν περίπου σε μικρές σταθερές σύζευξης ως μια σειρά διαταραχή. Ωστόσο, δεν είναι σαφές πώς θα λύσουμε αυτές τις εξισώσεις για την ισχυρή σύζευξη.

Navier-Stokes Εξισώσεις

Με αυτές τις εκφράσεις περιγραφείσες διεργασίες, όπως η ροή του αέρα, η ροή του υγρού και αναταράξεις. Για ορισμένες ειδικές περιπτώσεις, οι αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων Navier-Stokes έχουν βρεθεί, αλλά το κάνει για το κοινό αλλά κανείς δεν έχει καταφέρει. Ταυτόχρονα, αριθμητική προσομοίωση για συγκεκριμένες τιμές της ταχύτητας, της πυκνότητας, της πίεσης, του χρόνου, και ούτω καθεξής επιτρέπει να επιτευχθούν άριστα αποτελέσματα. Μπορούμε μόνο να ελπίζουμε ότι κάποιος θα χρησιμοποιήσει Navier-Stokes εξισώσεις προς την αντίθετη κατεύθυνση, δηλαδή. Ε υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τις παραμέτρους τους, ή να αποδεικνύουν ότι η μέθοδος δεν είναι η λύση.

Το έργο του Birch - Swinnerton-Dyer

Η κατηγορία των «εκκρεμών προβλημάτων» ισχύει και για την υπόθεση που προτείνονται από Βρετανούς επιστήμονες στο Πανεπιστήμιο του Cambridge. Ακόμη και πριν από 2300 χρόνια, ο αρχαίος Έλληνας λόγιος Ευκλείδης έδωσε μια πλήρη περιγραφή των λύσεων της εξίσωσης x2 + y2 = z2.

Αν για κάθε έναν από τους πρώτους αριθμούς για τον υπολογισμό του αριθμού των σημείων στην καμπύλη της μονάδας του, παίρνουμε ένα άπειρο σύνολο των ακεραίων. Εάν ένα συγκεκριμένο τρόπο για να «κόλλα» που σε 1 λειτουργία μιας σύνθετης μεταβλητής, στη συνέχεια, να πάρει τη λειτουργία ζήτα Hasse-Weil για τρίτη καμπύλη τάξης, συμβολίζεται με το γράμμα Λ Περιέχει πληροφορίες σχετικά με τη συμπεριφορά του modulo όλες οι πρώτοι αμέσως.

Bryan Birch και Peter Swinnerton-Dyer υπόθεση σχετική του ελλειπτικού καμπύλες. Σύμφωνα με αυτό, η δομή και ο αριθμός των σύνολο των λογικές αποφάσεις που σχετίζονται με τη συμπεριφορά της μονάδας L-λειτουργία. Επί του παρόντος αναπόδεικτη υπόθεση Birch - Swynnerton-Dyer εξαρτάται από αλγεβρικές εξισώσεις που περιγράφουν 3 μοίρες και είναι μόνο συγκριτικά απλή γενική μέθοδο για τον υπολογισμό του βαθμού της ελλειπτικών καμπυλών.

Για να γίνει κατανοητή η πρακτική σημασία αυτού του προβλήματος, αρκεί να πούμε ότι στη σύγχρονη κρυπτογραφία βασίζεται σε ελλειπτικές καμπύλες είναι μια κατηγορία των ασύμμετρων συστημάτων και η εφαρμογή τους βασίζονται εγχώρια πρότυπα της ψηφιακής υπογραφής.

Ισότητα των τάξεων p και np

Εάν το υπόλοιπο των «Millennium Προκλήσεις» είναι καθαρά μαθηματική, αυτό έχει σχέση με την πραγματική θεωρία των αλγορίθμων. Ένα πρόβλημα με τις κατηγορίες της ισότητας p και np, επίσης γνωστό ως το πρόβλημα του Cook-Levin κατανοητή γλώσσα μπορεί να διατυπωθεί ως εξής. Ας υποθέσουμε ότι μια θετική απάντηση σε μια ερώτηση μπορεί να ελεγχθεί αρκετά γρήγορα, αυτό είναι. Ε σε πολυωνυμικό χρόνο (PT). Στη συνέχεια, αν η πρόταση είναι σωστή, ότι η απάντηση μπορεί να είναι αρκετά γρήγορα για να βρείτε; Ακόμη πιο εύκολα , το πρόβλημα είναι το εξής: Είναι η λύση πραγματικά να ελέγξετε δεν είναι πιο δύσκολο από το να το βρείτε; Αν η ισότητα των τάξεων p και np θα μπορέσει ποτέ να αποδείξει ότι όλα τα προβλήματα επιλογής μπορούν να λυθούν για τα φωτοβολταϊκά. Αυτή τη στιγμή, πολλοί ειδικοί αμφιβάλλουν για την αλήθεια αυτής της δήλωσης, αλλά δεν μπορούν να αποδείξουν το αντίθετο.

Η υπόθεση Riemann

Μέχρι το 1859 δεν υπήρχε καμία απόδειξη για τυχόν νόμους που θα περιγράφουν τον τρόπο διανομής των πρώτων αριθμών μεταξύ των φυσικών. Ίσως αυτό οφειλόταν στο γεγονός ότι η επιστήμη που εμπλέκονται σε άλλα θέματα. Ωστόσο, από τα μέσα του 19ου αιώνα, η κατάσταση έχει αλλάξει και έχουν γίνει ένα από τα πιο επείγοντα, η οποία άρχισε να ασκεί τα μαθηματικά.

Ο Riemann υπόθεση, η οποία εμφανίστηκε κατά την περίοδο αυτή - αυτή είναι η υπόθεση ότι υπάρχει ένα συγκεκριμένο μοτίβο στην κατανομή των πρώτων αριθμών.

Σήμερα, πολλοί σύγχρονοι επιστήμονες πιστεύουν ότι αν αποδειχθεί, θα πρέπει να επανεξετάσει πολλές από τις θεμελιώδεις αρχές της σύγχρονης κρυπτογραφίας, αποτελούν τη βάση ενός μεγάλου μέρους των μηχανισμών ηλεκτρονικού εμπορίου.

Σύμφωνα με την υπόθεση Riemann, η φύση της κατανομής των πρώτων αριθμών μπορεί να διαφέρουν ουσιωδώς από τα αναμενόμενα αυτή τη στιγμή. Το γεγονός είναι ότι μέχρι τώρα δεν έχει βρεθεί ακόμα οποιουδήποτε συστήματος στην κατανομή των πρώτων αριθμών. Για παράδειγμα, υπάρχει ένα πρόβλημα «δίδυμα», η διαφορά μεταξύ των οποίων είναι ίση με 2. Αυτοί οι αριθμοί είναι 11 και 13, 29. Άλλα PRIMES σχηματίζουν συμπλέγματα. Είναι 101, 103, 107 και άλλοι. Οι επιστήμονες από καιρό έχουν υποψιαστεί ότι υπάρχουν τέτοια σμήνη μεταξύ των πολύ μεγάλων πρώτων αριθμών. Αν τους βρείτε, η αντίσταση των σύγχρονων βασικών κρυπτο θα είναι υπό αμφισβήτηση.

Η υπόθεση των κύκλων Hodge

Αυτό το άλυτο πρόβλημα εξακολουθεί να διατυπωθεί το 1941. Hodge υπόθεση προτείνει την πιθανότητα που προσεγγίζει την μορφή οποιουδήποτε αντικειμένου από το «κόλλημα» μαζί απλή σώματα μεγαλύτερη διάσταση. Αυτή η μέθοδος είναι γνωστή και έχει χρησιμοποιηθεί με επιτυχία για μεγάλο χρονικό διάστημα. Ωστόσο, δεν είναι γνωστό σε ποιο βαθμό η απλοποίηση μπορεί να γίνει.

Τώρα που ξέρετε τι υπάρχουν άλυτα προβλήματα αυτή τη στιγμή. Πρόκειται για το θέμα των χιλιάδων επιστημόνων σε όλο τον κόσμο. Εκφράζεται η ελπίδα ότι σύντομα θα επιλυθεί, και η πρακτική εφαρμογή τους θα βοηθήσει την ανθρωπότητα να φτάσει ένα νέο γύρο της τεχνολογικής ανάπτυξης.