Η εξίσωση του επιπέδου: πώς να κάνει; Τύποι εξισώσεις αεροπλάνο

Ο χώρος αεροπλάνο μπορεί να οριστεί με διάφορους τρόπους (μία τελεία και φορέα, ο φορέας και τα δύο σημεία, τρία σημεία, κλπ). Είναι με αυτό το πνεύμα, η εξίσωση αεροπλάνο μπορεί να έχει διαφορετικούς τύπους. Επίσης υπό ορισμένες συνθήκες μπορεί να είναι επίπεδο παράλληλο, κάθετος, τέμνονται, κ.λπ. Σε αυτό και θα μιλήσει σε αυτό το άρθρο. Θα μάθουν να κάνουν τη γενική εξίσωση του επιπέδου και όχι μόνο.

Η κανονική μορφή της εξίσωσης

Ας υποθέσουμε ότι το R είναι ο χώρος _3, η οποία έχει ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ΧΥΖ. Ορίζουμε ένα διάνυσμα α, το οποίο θα κυκλοφορήσει από το σημείο εκκίνησης O. μέχρι το τέλος του διανύσματος α συντάξει επίπεδο Ρ που είναι κάθετο προς αυτό.

Υποδηλώσει Ρ σε ένα αυθαίρετο σημείο Q = (x, y, z). Ο φορέας ακτίνα του σημείου Q επιστολή σημάδι σ. Το μήκος του διανύσματος ισούται με ρ α = IαI και Ʋ = (οοδα, συνβ, cosγ).

Αυτός ο φορέας μονάδα, η οποία κατευθύνεται προς την κατεύθυνση ως φορέα α. α, β και γ - είναι γωνίες που σχηματίζονται μεταξύ του φορέα και των θετικών κατευθύνσεις Ʋ χώρο άξονες x, y, z αντίστοιχα. Η προβολή ενός σημείου επί φορέως QεP Ʋ είναι μία σταθερά η οποία είναι ίση με ρ (ρ, Ʋ) = p (r≥0).

Η παραπάνω εξίσωση έχει νόημα όταν το ρ = 0. Η μόνη n αεροπλάνο σε αυτήν την περίπτωση, θα διασχίσει το σημείο O (α = 0), η οποία είναι η προέλευση, και μοναδιαίο διάνυσμα Ʋ, απελευθερώνεται από το σημείο Ο θα είναι κάθετη προς Ρ, αν και την κατεύθυνσή της, πράγμα που σημαίνει ότι ο φορέας Ʋ προσδιορίζεται μέχρι το σημάδι. Προηγούμενο εξίσωση είναι το αεροπλάνο μας Ρ, που εκφράζεται σε μορφή φορέα. Όμως, κατά την άποψη των συντεταγμένων του είναι:

Ρ είναι μεγαλύτερη από ή ίση με 0. Εχουμε βρει την εξίσωση αεροπλάνο σε κανονική μορφή.

Η γενική εξίσωση

Αν η εξίσωση στις συντεταγμένες πολλαπλασιάστε από οποιοδήποτε αριθμό που δεν είναι ίσο με μηδέν, παίρνουμε την εξίσωση ισοδύναμο με αυτό που καθορίζει το πολύ αεροπλάνο. Θα έχει την ακόλουθη μορφή:

Εδώ, Α, Β, Γ - είναι ο αριθμός των ταυτόχρονα διαφορετικό από το μηδέν. Αυτή η εξίσωση καλείται εξίσωση της γενικής μορφής του αεροπλάνου.

Οι εξισώσεις των επιπέδων. Ειδικές περιπτώσεις

Η εξίσωση μπορεί γενικά να τροποποιηθούν με πρόσθετες προϋποθέσεις. Εξετάστε μερικά από αυτά.

Ας υποθέσουμε ότι ο συντελεστής Α είναι 0. Αυτό υποδεικνύει ότι το επίπεδο παράλληλο προς τον προκαθορισμένο άξονα Ox. Στην περίπτωση αυτή, η μορφή της εξίσωσης αλλάζει: Wu + Cz + D = 0.

Ομοίως, η μορφή της εξίσωσης και θα ποικίλουν με τους ακόλουθους όρους:

• Πρώτον, εάν το Β = 0, η εξίσωση αλλαγές στο Ax + Cz + D = 0, η οποία θα έδειχνε την παραλληλία προς τον άξονα Ογ.
• Δεύτερον, αν C = 0, η εξίσωση μετασχηματίζεται σε ax + by + D = 0, δηλαδή περίπου παράλληλα προς τον προκαθορισμένο άξονα Οζ.
• Τρίτον, εάν D = 0, η εξίσωση θα εμφανιστεί ως ax + by + Cz = 0, πράγμα που θα σήμαινε ότι το επίπεδο τέμνει O (η προέλευση).
• Τέταρτον, εάν Α = Β = 0, η εξίσωση αλλαγές στο Cz + D = 0, η οποία θα αποδειχθεί παραλληλισμό Oxy.
• Πέμπτον, αν Β = C = 0, η εξίσωση γίνεται Ax + D = 0, πράγμα που σημαίνει ότι το επίπεδο είναι παράλληλο προς Oyz.
• Έκτον, εάν Α = C = 0, η εξίσωση παίρνει τη μορφή Wu + D = 0, δηλαδή, θα υποβάλει έκθεση στο Οχζ παραλληλισμό.

Μορφή της εξίσωσης σε τμήματα

Στην περίπτωση όπου οι αριθμοί Α, Β, C, D διαφορετικό από μηδέν, η μορφή της εξίσωσης (0) μπορεί να είναι ως εξής:

x / α + γ / β + z / c = 1,

όπου Α = -D / A, b = -D / Β, c = -D / Γ

Λαμβάνουμε ως εξίσωση αποτέλεσμα του επιπέδου σε κομμάτια. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι αυτό το αεροπλάνο θα τέμνει τον άξονα x στο σημείο με συντεταγμένες (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), και Oz - (0,0, s).

Δεδομένης η εξίσωση x / a + y / b + z / c = 1, δεν είναι δύσκολο να απεικονίσει το αεροπλάνο τοποθέτηση σε σχέση με ένα προκαθορισμένο σύστημα συντεταγμένων.

Οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος

Το κάθετο διάνυσμα n προς το επίπεδο Ρ έχει συντεταγμένες που είναι οι συντελεστές της γενική εξίσωση του επιπέδου, δηλαδή Ν (Α, Β, C).

Προκειμένου να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες του κανονικού n, αρκεί να είναι γνωστή η γενική εξίσωση δεδομένο επίπεδο.

Όταν χρησιμοποιώντας την εξίσωση σε τμήματα, η οποία έχει τη μορφή x / α + γ / β + z / c = 1, όπως όταν χρησιμοποιώντας τη γενική εξίσωση μπορεί να γραφτεί συντεταγμένες του κάθε κάθετο διάνυσμα ένα δεδομένο επίπεδο: (1 / α + 1 / b + 1 / γ).

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι το κανονικό διάνυσμα του να βοηθήσει για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων. Τα πιο κοινά προβλήματα που συνίσταται στην απόδειξη κάθετα ή παράλληλα επίπεδα, το έργο της εξεύρεσης τις γωνίες μεταξύ των επιπέδων ή των γωνιών μεταξύ των επιπέδων και ευθείες γραμμές.

Τύπου σύμφωνα με την εξίσωση αεροπλάνο και συντεταγμένες του σημείου κάθετο διάνυσμα

Μια μη μηδενική διάνυσμα n, κάθετα προς ένα δεδομένο επίπεδο, που ονομάζεται κανονική (φυσιολογική) σε ένα προκαθορισμένο επίπεδο.

Ας υποθέσουμε ότι στο χώρο συντεταγμένων (ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων) Oxyz που:

• σημείο Mₒ με συντεταγμένες (hₒ, uₒ, zₒ)?
• μηδενικό διάνυσμα n = A * i + B * j + C * k.

Θα πρέπει να βεβαιωθείτε εξίσωση του επιπέδου που περνά από το σημείο Mₒ κάθετα προς την κανονική n.

Στο χώρο που επιλέγουμε οποιοδήποτε αυθαίρετο σημείο και σημαίνουν Μ (x, y, z). Αφήστε το διάνυσμα ακτίνας κάθε σημείο Μ (x, y, z) θα είναι r = χ * i + y * j + ζ * k, και ο φορέας ακτίνα ενός σημείου Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * ί + uₒ * j + zₒ * k. Το σημείο Μ θα ανήκει σε ένα δεδομένο επίπεδο, εάν ο φορέας MₒM να είναι κάθετος προς τον φορέα n. Γράφουμε την κατάσταση της ορθογωνικότητας χρησιμοποιώντας το εσωτερικό γινόμενο:

[MₒM, n] = 0.

Από MₒM = r-rₒ, ο φορέας εξίσωση του επιπέδου θα μοιάζει με αυτό:

[R - rₒ, n] = 0.

Η εξίσωση αυτή μπορεί επίσης να έχει άλλο σχήμα. Για το σκοπό αυτό, οι ιδιότητες του προϊόντος βαθμωτού, και μετατρέπεται στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Εάν [rₒ, n] δηλώνεται ως s, παίρνουμε την ακόλουθη εξίσωση: [r, n] - α = 0 ή [r, n] = s, η οποία εκφράζει τη σταθερότητα των προεξοχών επί της κανονικής διάνυσμα των ακτίνας-φορείς των δεδομένων σημείων που ανήκουν αεροπλάνο.

Τώρα μπορείτε να πάρετε το επίπεδο συντεταγμένων καταγραφής με φορέα εξίσωση μας [r - rₒ, n] = 0. Από r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, και n = A * i + B * j + C * k, έχουμε:

Αποδεικνύεται ότι έχουμε η εξίσωση διαμορφώνεται επιπέδου που διέρχεται από το σημείο καθέτως προς την κανονική n:

Α * (χ hₒ) + Β * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Τύπου σύμφωνα με την εξίσωση αεροπλάνο και συντεταγμένες των δύο σημείων του επιπέδου φορέα συγγραμμικά

Ορίζουμε δύο αυθαίρετα σημεία Μ '(x', y 'z') και το Μ "(x", γ», Ζ "), καθώς και του φορέα (Α», Α", α '' ').

Τώρα μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση προκαθορισμένο επίπεδο το οποίο διέρχεται μέσα από το υπάρχον σημείο Μ «και το Μ», και κάθε σημείο της με τις συντεταγμένες M (x, y, z) παράλληλο προς ένα δεδομένο φορέα.

Έτσι διανύσματα M'M x = {x 'y-y'? Zz '} και το Μ "Μ = {x" -x', y 'y'? Z «-Ζ«} θα πρέπει να είναι στο ίδιο επίπεδο με τον φορέα α = (α», α " α '' '), πράγμα που σημαίνει ότι (M'M Μ" Μ, α) = 0.

Έτσι, η εξίσωση μας ένα αεροπλάνο στο διάστημα θα μοιάζει κάπως έτσι:

Τύπος εξίσωση αεροπλάνο, διασχίζοντας τρία σημεία

Ας πούμε ότι έχουμε τρία σημεία: (x 'y', z '), (x', y 'z'), (x '' '' '' Have, ζ '' '), οι οποίες δεν ανήκουν στην ίδια γραμμή. Είναι απαραίτητο να γράψει εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα τρία σημεία που προσδιορίζονται. Θεωρία γεωμετρίας υποστηρίζει ότι δεν υπάρχει αυτό το είδος του αεροπλάνου, είναι απλά ένα και μόνο. Δεδομένου ότι αυτό επίπεδο τέμνει το σημείο (x «y», z «), μορφή εξίσωσης του θα ήταν:

Εδώ, Α, Β, και C είναι διαφορετικό από το μηδέν ταυτόχρονα. Επίσης δίδεται επίπεδο τέμνει δύο περισσότερα σημεία (x "γ", Ζ «) και (x '' ', y' '', '' 'z). Στο πλαίσιο αυτό θα πρέπει να πραγματοποιείται αυτό το είδος των συνθηκών:

Τώρα μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα ενιαίο σύστημα των εξισώσεων (γραμμικά) με αγνώστους u, v, w:

Στην περίπτωσή μας Χ, Υ ή Ζ συμβολίζει αυθαίρετο σημείο που ικανοποιεί την εξίσωση (1). Λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση (1) και ένα σύστημα εξισώσεων (2) και (3) το σύστημα των εξισώσεων υποδεικνύεται στο παραπάνω σχήμα, ο φορέας ικανοποιεί Ν (Α, Β, C) το οποίο είναι μη τετριμμένη. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο καθοριστικός παράγοντας του συστήματος είναι μηδέν.

Η εξίσωση (1) που έχουμε, αυτή είναι η εξίσωση του επιπέδου. 3 σημείων πηγαίνει πραγματικά, και είναι εύκολο να ελεγχθεί. Για να γίνει αυτό, θα επεκτείνει το καθοριστικό από τα στοιχεία στην πρώτη γραμμή. Από τις υπάρχουσες ιδιότητες καθοριστικός έπεται ότι το αεροπλάνο μας τέμνει ταυτόχρονα το τρία αρχικά προκαθορισμένο σημείο (x 'y', z «), (χ " γ", Ζ«), (χ '' ', y' '', '' 'z). Γι 'αυτό και αποφάσισε να αναθέσει μπροστά μας.

Δίεδρο γωνία μεταξύ των επιπέδων

Δίεδρο γωνία είναι μια χωρική γεωμετρικό σχήμα που σχηματίζεται από δύο μισά αεροπλάνα που προέρχονται από μια ευθεία γραμμή. Με άλλα λόγια, ένα μέρος του χώρου που περιορίζεται στα μισά αεροπλάνα.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο αεροπλάνο με τις ακόλουθες εξισώσεις:

Γνωρίζουμε ότι το διάνυσμα Ν = (A, B, C) και N¹ = (Α', σπεκτροσκοπίας, S¹) σύμφωνα με προκαθορισμένα επίπεδα είναι κάθετα. Από την άποψη αυτή, η γωνία φ μεταξύ των διανυσμάτων και n ίση γωνία (δίεδρο), το οποίο βρίσκεται μεταξύ αυτών των επιπέδων. Το εσωτερικό γινόμενο δίνεται από:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

ακριβώς επειδή

συνφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (τα Α + s² + V²)) * (√ (Α') ² + (σπεκτροσκοπίας) ² + (S¹) ²)).

Είναι αρκετό για να θεωρηθεί ότι 0≤φ≤π.

Στην πραγματικότητα δύο επιπέδων που τέμνονται, μορφή γωνίας δύο (δίεδρο): φ ₁ και φ _2. το άθροισμά τους είναι ίσο προς π (φ ₁ + φ ₂ = π). Όσο για συνημίτονα τους, απόλυτες τιμές τους είναι ίσες, αλλά είναι διαφορετικά σημάδια, δηλαδή, cos φ ₁ = -cos φ _2. Εάν στην εξίσωση (0) αντικαθίσταται από Α, Β και Γ από τα -Α, -Β και -C αντίστοιχα, την εξίσωση, παίρνουμε, θα καθορίσει το ίδιο επίπεδο, το μόνο γωνία φ σε cos εξίσωση φ = NN ¹ / | Ν || Ν ¹ | Θα αντικατασταθεί από π-φ.

Η εξίσωση του κάθετου επιπέδου

Ονομάζεται κάθετο επίπεδο, μεταξύ των οποίων η γωνία είναι 90 μοίρες. Χρησιμοποιώντας το υλικό που παρουσιάστηκε παραπάνω, μπορούμε να βρούμε την εξίσωση ενός επιπέδου καθέτου προς την άλλη. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο επίπεδα: Ax + By + Cz + D = 0 και + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Μπορούμε να πούμε ότι είναι ορθογώνια αν cos = 0. Αυτό σημαίνει ότι NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Η εξίσωση ενός παράλληλου επιπέδου

Αναφέρθηκε σε δύο παράλληλα επίπεδα τα οποία δεν περιέχουν κοινά σημεία.

Η προϋπόθεση της παράλληλων επιπέδων (εξισώσεις τους είναι τα ίδια όπως στην προηγούμενη παράγραφο), είναι ότι οι φορείς και n, τα οποία είναι κάθετα προς αυτούς, συγγραμμικά. Αυτό σημαίνει ότι πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις αναλογικότητας:

A / Α'= B / C = σπεκτροσκοπίας / S¹.

Αν οι αναλογικές όροι επεκτάθηκε - A / Α'= B / C = σπεκτροσκοπίας / S¹ = DD¹,

αυτό υποδεικνύει ότι το επίπεδο δεδομένων του ιδίου. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση ax + by + Cz + D = 0 και + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 περιγράφουν ένα αεροπλάνο.

Η απόσταση από το σημείο στο αεροπλάνο

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα επίπεδο Ρ, η οποία δίνεται από (0). Είναι απαραίτητο να βρούμε την απόσταση από το σημείο με συντεταγμένες (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Θα πρέπει να φέρει την εξίσωση στην κανονική εμφάνιση επιπέδου ΙΙ για να το κάνει:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Στην περίπτωση αυτή, ρ (x, y, z) είναι το διάνυσμα ακτίνα του σημείου μας Q, που βρίσκεται στην n p - n είναι το μήκος της καθέτου, η οποία απελευθερώθηκε από το σημείο μηδέν, v - είναι το διάνυσμα μονάδα, η οποία είναι διατεταγμένη στην κατεύθυνση ενός.

Η διαφορά ρ-ρº διάνυσμα ακτίνα ενός σημείου Q = (x, y, z), που ανήκουν σε n και ο φορέας ακτίνα ενός δεδομένου σημείου Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) είναι ένας τέτοιος φορέας, η απόλυτη τιμή της προεξοχής της οποίας σχετικά v ισούται με την απόσταση d, η οποία είναι απαραίτητη για να βρούμε από Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) έως P:

D = | (ρ-ρ ^0, ν) |, αλλά

(Ρ-ρ ^0, ν) = (ρ, v ) - (ρ ^0, ν) = p (ρ ^0, v).

Έτσι αποδεικνύεται,

d = | (ρ ^0, ν) σ |.

Τώρα είναι σαφές ότι για να υπολογίσει την απόσταση d από _{το 0} έως _το Q επίπεδο Ρ, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί η κανονική εξίσωση άποψη επιπέδου, η μετατόπιση προς τα αριστερά του p, και το τελευταίο μέρος του x, y, z υποκατάστατο (hₒ, uₒ, zₒ).

Έτσι, βρίσκουμε την απόλυτη τιμή του προκύπτοντος έκφρασης που απαιτείται d.

Χρησιμοποιώντας τις παραμέτρους της γλώσσας, έχουμε το προφανές:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (τα Α + V² + s²).

Εάν το συγκεκριμένο σημείο Q ₀ είναι στην άλλη πλευρά του επιπέδου Ρ όπως την προέλευση, στη συνέχεια, μεταξύ του διανύσματος ρ-ρ ⁰ και το ν είναι ένας αμβλεία γωνία, έτσι:

d = - (ρ-ρ ^0, ν) = (ρ ^0, v) -ρ> 0.

Στην περίπτωση όταν το σημείο Q _0, σε συνδυασμό με την προέλευση που βρίσκεται στην ίδια πλευρά του U, η οξεία γωνία δημιουργείται, που είναι:

d = (ρ-ρ ^0, ν) = p - (ρ ^0, ν)> 0.

Το αποτέλεσμα είναι ότι στην πρώτη περίπτωση (ρ ^0, ν)> p, στο δεύτερο (ρ ^0, ν)

Και εξίσωση εφαπτόμενο επίπεδο της

Όσον αφορά το αεροπλάνο προς την επιφάνεια στο σημείο επαφής Mº - ένα επίπεδο που περιέχει κάθε δυνατή εφαπτομένη στην καμπύλη που διέρχεται διά του σημείου αυτού πάνω στην επιφάνεια.

Με αυτή την επιφάνεια μορφή της εξίσωσης F (x, y, z) = 0 στην εξίσωση του σημείου εφαπτόμενο επίπεδο εφαπτόμενο Mº (hº, uº, zº) θα είναι:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (Ζ-zº) = 0.

Αν η επιφάνεια έχει οριστεί ρητά z = f (x, y), τότε το επίπεδο εφαπτόμενο περιγράφεται από την εξίσωση:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Η τομή των δύο επιπέδων

Στο τρισδιάστατο χώρο είναι ένα σύστημα συντεταγμένων (ορθογώνιο) Oxyz, δίνονται δύο επιπέδων P και P 'που αλληλεπικαλύπτονται και δεν συμπίπτουν. Από οποιοδήποτε επίπεδο, το οποίο είναι σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων που ορίζεται από την γενική εξίσωση, υποθέτουμε ότι η «και«ορίζονται από τις εξισώσεις A'x + V'u S'z + + D n»= 0 και Α" + Β χ '+ y με το "z + D" = 0. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε κανονική n «(Α», Β «C») του επιπέδου Ρ «και της κανονικής n“(Α”, Β“ C”) του επιπέδου Ρ». Καθώς το αεροπλάνο μας δεν είναι παράλληλα και δεν συμπίπτουν, τότε αυτοί οι φορείς δεν είναι συγγραμμικά. Χρησιμοποιώντας τη γλώσσα των μαθηματικών, έχουμε αυτή την κατάσταση μπορεί να γραφτεί ως εξής: n '≠ n "↔ (Α', Β 'Γ') ≠ (λ * Και", λ * Στο "λ * C"), λεR. Ας η ευθεία γραμμή που βρίσκεται στη διασταύρωση Ρ «και Ρ», θα συμβολίζεται με το γράμμα Α, σε αυτή την περίπτωση a = Ρ»∩ P".

και - μια γραμμή που αποτελείται από μία πληθώρα σημείων (κοινών) αεροπλάνα Ρ «και Ρ». Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που ανήκει στην γραμμή Α, πρέπει ταυτόχρονα ικανοποιούν την εξίσωση A'x + V'u S'z + + D «= 0 και Α«x + Β»+ C y" z + D "= 0. Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του σημείου θα είναι μια ιδιαίτερη λύση από τις ακόλουθες εξισώσεις:

Το αποτέλεσμα είναι ότι η λύση (συνολική) αυτού του συστήματος εξισώσεων θα καθορίσει τις συντεταγμένες του κάθε ένα από τα σημεία στη γραμμή η οποία θα ενεργεί ως σημείο τομής Ρ «και Ρ», και να καθορίσει μια γραμμή σε ένα σύστημα συντεταγμένων Oxyz (ορθογώνιο) χώρο.