Εκκρεμές: περίοδος και η επιτάχυνση του τύπου

Το μηχανικό σύστημα που αποτελείται από ένα υλικό σημείο (το σώμα), το οποίο κρέμεται σε ένα χωρίς βάρος μη εκτάσιμο νήμα (η μάζα του είναι αμελητέα σε σύγκριση με το βάρος του σώματος) σε ένα ομοιόμορφο βαρυτικό πεδίο, που ονομάζεται το μαθηματικό εκκρεμές (ένα άλλο όνομα - ο ταλαντωτής). Υπάρχουν και άλλα είδη συσκευών. Αντί ενός νήματος χωρίς βάρος ράβδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Εκκρεμές μπορεί να αποκαλύψει ξεκάθαρα την ουσία της πολλά ενδιαφέροντα φαινόμενα. Όταν μικρές δονήσεις εύρους της κίνησης του ονομάζεται αρμονική.

Γενικές πληροφορίες σχετικά με το μηχανικό σύστημα

Η φόρμουλα της περιόδου ταλάντωσης του εκκρεμούς αναπαρήχθη Ολλανδικά Huygens επιστήμονας (1629-1695 gg.). Αυτό το σύγχρονο του Ισαάκ Νεύτωνα ήταν πολύ λάτρης του μηχανικού συστήματος. Το 1656 δημιούργησε το πρώτο ρολόι με μηχανισμό εκκρεμούς. Μέτρησαν το χρόνο με εξαιρετική ακρίβεια για εκείνες τις στιγμές. Η εφεύρεση αυτή ήταν ένα σημαντικό βήμα για την ανάπτυξη των φυσικών πειραμάτων και πρακτικές δραστηριότητες.

Αν το εκκρεμές είναι σε μία θέση ισορροπίας (κρέμονται κατακόρυφα), η δύναμη της βαρύτητας θα εξισορροπείται από την δύναμη τάσης νήματος. Διαμέρισμα εκκρεμές σε ένα μη ελαστικό νήματα είναι ένα σύστημα με δύο βαθμούς ελευθερίας της επικοινωνίας. Κατά την αλλαγή μόνο ένα στοιχείο της αλλαγής των χαρακτηριστικών όλων των τμημάτων του. Για παράδειγμα, εάν ένα νήμα αντικαθίσταται από μία ράβδο, τότε αυτό το μηχανικό σύστημα είναι μόνο 1 βαθμό ελευθερίας. Ποια είναι, λοιπόν, οι ιδιότητες ενός μαθηματικού εκκρεμούς; Σε αυτό το απλό σύστημα, υπό την επίδραση της περιοδικής διαταραχή, εμφανίζεται το χάος. Στην περίπτωση αυτή, όταν το σημείο ανάρτησης δεν κινείται, και ταλαντεύεται ένα εκκρεμές υπάρχει μια νέα θέση ισορροπίας. Αν ταχείες διακυμάνσεις πάνω και κάτω από αυτό το μηχανικό σύστημα γίνεται σταθερή θέση «ανάποδα». Επίσης, έχει το όνομά του. Καλείται η Kapitza εκκρεμές.

Οι ιδιότητες του εκκρεμούς

Εκκρεμές έχει πολύ ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Όλα αυτά υποστηρίζονται από γνωστούς φυσικούς νόμους. Η περίοδος ταλάντωσης του εκκρεμούς οποιαδήποτε άλλη εξαρτάται από διάφορες συνθήκες όπως το μέγεθος και το σχήμα του σώματος, η απόσταση μεταξύ του σημείου της ανάρτησης και του κέντρου βάρους, κατανομή βάρους σε σχέση με το σημείο αυτό. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ο ορισμός της περιόδου κρέμεται σώμα είναι αρκετά δύσκολο. Είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογίσει την περίοδο του απλού εκκρεμούς, ο τύπος του οποίου παρατίθεται παρακάτω. Ως αποτέλεσμα αυτών των μοντέλων μπορεί να ρυθμιστεί σε παρόμοια μηχανικά συστήματα:

• Εάν, διατηρώντας το ίδιο μήκος του εκκρεμούς, αναστέλλεται από μια ποικιλία των φορτίων, η περίοδος της ταλάντωσης πάρει το ίδιο, αν και το βάρος τους, θα ποικίλλουν σε μεγάλο βαθμό. Κατά συνέπεια, η περίοδος του εκκρεμούς δεν εξαρτάται από το βάρος του φορτίου.

• Αν το σύστημα αρχίσει να υποχωρεί το εκκρεμές δεν είναι πολύ μεγάλο, αλλά διαφορετικές γωνίες, θα κυμαίνεται ανάλογα με το ίδιο χρονικό διάστημα, αλλά σε διαφορετικά πλάτη. Ενώ αποκλίσεις από το κέντρο της ισορροπίας δεν είναι πολύ μεγάλες διακυμάνσεις στη μορφή τους θα είναι αρκετά κοντά αρμονική. Η περίοδος μίας τέτοιας εκκρεμούς δεν εξαρτάται από τη δονητική πλάτους. Αυτή η ιδιότητα του μηχανικού συστήματος που ονομάζεται izohronizmom (στα ελληνικά «ΧΡΟΝΟΣ» - χρόνος «Izosov» - ίσα).

Η περίοδος ενός απλού εκκρεμούς

Ο αριθμός αυτός αντιπροσωπεύει το φυσικό περίοδο ταλάντωσης. Παρά τη σύνθετη διαμόρφωση, η ίδια η διαδικασία είναι πολύ απλή. Εάν το μήκος του νήματος μαθηματικού εκκρεμούς L, και την επιτάχυνση της βαρύτητας g, η τιμή αυτή είναι ίση:

T = 2π√L / g

Μικρές περίοδο των φυσικών ταλαντώσεων σε καμία περίπτωση δεν εξαρτάται από τη μάζα του εκκρεμούς και του πλάτους ταλάντωσης. Στην περίπτωση αυτή, ως μια μαθηματική εκκρεμές κινείται με μειωμένη μήκους.

Ταλαντώσεις ενός μαθηματικού εκκρεμούς

Μαθηματική εκκρεμές ταλαντώνεται, η οποία μπορεί να περιγραφεί από μια απλή διαφορική εξίσωση:

x + ω2 sin x = 0,

όπου x (t) - άγνωστης λειτουργίας (αυτή η γωνία εκτροπής από τη χαμηλότερη θέση της ισορροπίας κατά τη χρονική στιγμή t, εκφρασμένη σε ακτίνια)? ω - μια θετική σταθερά η οποία προσδιορίζεται από τις παραμέτρους του εκκρεμούς (ω = √g / L, όπου το g - η επιτάχυνση της βαρύτητας, και L - το μήκος ενός απλού εκκρεμούς (εναιώρημα).

Εξίσωση μικρές ταλαντώσεις κοντά στη θέση ισορροπίας (αρμονική εξίσωση) ως εξής:

x + ω2 sin x = 0

Κίνηση ταλάντωσης του εκκρεμούς

Εκκρεμές, η οποία κάνει μικρές ταλαντώσεις, κινείται ημιτονοειδής. Δεύτερη διαφορική εξίσωση τάξης πληροί όλες τις προϋποθέσεις και τις παραμέτρους μιας τέτοιας κίνησης. Για να προσδιορίσετε τη διαδρομή που πρέπει να ρυθμίσετε την ταχύτητα και τις συντεταγμένες, το οποίο αργότερα καθορίζεται ανεξάρτητα σταθερές:

x = A sin (θ ₀ + ωt),

όπου θ ₀ - αρχική φάση, Α - πλάτος της ταλάντωσης, ω - κυκλική συχνότητα που καθορίζεται από τις εξισώσεις κίνησης.

Εκκρεμές (τύπος για μεγάλα πλάτη)

Αυτό το μηχανικό σύστημα, εκτελεί ταλαντώσεις τους με ένα μεγάλο εύρος, υπόκειται σε πιο πολύπλοκες κώδικα οδικής κυκλοφορίας. έχουν υπολογισθεί σύμφωνα με τον τύπο για ένα τέτοιο εκκρεμές:

sin x / 2 = u * SN (ωt / u),

όπου sn - sine Jacobi, ο οποίος για u <1 είναι μια περιοδική συνάρτηση, και για τις μικρές u συμπίπτει με την απλή τριγωνομετρική ημίτονο. Η τιμή του u προσδιορίζεται από την ακόλουθη έκφραση:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

όπου ε = E / ML2 (ML2 - ενέργεια του εκκρεμούς).

Προσδιορισμός της μη γραμμικής περιόδου ταλάντωσης του εκκρεμούς από τον ακόλουθο τύπο:

Τ = 2π / Ω,

όπου Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - ελλειπτικά αναπόσπαστο, π - 3,14.

η κίνηση του εκκρεμούς του separatrix

Κάλεσε separatrix τροχιά του δυναμικού συστήματος, στο οποίο ένα χώρο δύο διαστάσεων φάση. Εκκρεμές κινείται σε μη περιοδικά. Στο απείρως μακριά σημείο του χρόνου πέφτει από την ανώτερη ακραία θέση προς μια ταχύτητα μηδέν, και στη συνέχεια σταδιακά κερδίζει. Τελικά σταμάτησε, επιστρέφοντας στην αρχική του θέση.

Αν το πλάτος της ταλάντωσης του εκκρεμούς προσεγγίζει τον αριθμό π, λέγεται ότι η κίνηση στο επίπεδο φάση είναι κοντά στο separatrix. Στην περίπτωση αυτή, στο πλαίσιο της δράσης ενός μικρού περιοδικού κινητήρια δύναμη του μηχανικού συστήματος παρουσιάζει χαοτική συμπεριφορά.

Σε περίπτωση ενός απλού εκκρεμούς από τη θέση ισορροπίας με μια cp γωνία εμφανίζεται εφαπτομενική δύναμη Fτ = βαρύτητας-Mg sin φ. «Πλην» σημάδι σημαίνει ότι η εφαπτομενική συνιστώσα κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από την κατεύθυνση της απόκλισης του εκκρεμούς. Όταν αναφερόμαστε μέσω μετάθεσης εκκρεμές χ κατά μήκος ενός κυκλικού τόξου με ακτίνα L είναι ίση με γωνιακή φ μετατόπισης του = x / L. Ο δεύτερος νόμος Isaaka Nyutona, σχεδιασμένο για προβολή του διανύσματος επιταχύνσεως και τη δύναμη να δώσει την επιθυμητή τιμή:

mg τ = Fτ =-Mg sin x / L

Με βάση αυτή την αναλογία, είναι σαφές ότι το εκκρεμές είναι ένα μη γραμμικό σύστημα, όπως μια δύναμη που τείνει να επιστρέψει στην θέση ισορροπίας του, δεν είναι πάντα ανάλογη προς τη μετατόπιση χ, ένα sin x / L.

Μόνο όταν η μαθηματική εκκρεμές εκτελεί μικρές δονήσεις, είναι ένας αρμονικός ταλαντωτής. Με άλλα λόγια, γίνεται ένα μηχανικό σύστημα ικανό να εκτελεί αρμονικές ταλαντώσεις. Αυτή η προσέγγιση ισχύει σχεδόν για γωνίες 15-20 °. Εκκρεμές με μεγάλη πλάτη, δεν είναι αρμονική.

νόμος του Νεύτωνα για μικρές ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς

Αν το μηχανικό σύστημα εκτελεί μικρές ταλαντώσεις, του νόμου 2ο Νεύτωνα θα μοιάζει κάπως έτσι:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Σε αυτή τη βάση, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η εφαπτομενική επιτάχυνση ενός απλού εκκρεμούς είναι ανάλογη της μετατόπισης του με το σύμβολο «μείον». Αυτή είναι μια κατάσταση όπου το σύστημα καθίσταται ένα αρμονικό ταλαντωτή. συντελεστής αναλογικότητας Module μεταξύ της μετατόπισης και της επιτάχυνσης ισούται με το τετράγωνο της γωνιακής συχνότητας:

ω02 = g / L? ω0 = √ g / L.

Αυτός ο τύπος αντανακλά τη φυσική συχνότητα του μικρές ταλαντώσεις αυτού του τύπου εκκρεμούς. Σε αυτή τη βάση,

Τ = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Υπολογισμοί με βάση το νόμο της διατήρησης της ενέργειας

Ιδιότητες ταλάντωσης κινήσεις εκκρεμές μπορεί να περιγραφεί με τη βοήθεια του νόμου της διατήρησης της ενέργειας. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η δυναμική ενέργεια του εκκρεμούς σε ένα βαρυτικό πεδίο είναι:

Ε = mgΔh = MGL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Πλήρης μηχανική ενέργεια ισούται με την κινητική και τη μέγιστη δυνητική: Epmax = Ekmsx = E

Αφού έχετε γράψει το νόμο της διατήρησης της ενέργειας, λαμβάνοντας το παράγωγο των αριστερή και δεξιά πλευρά της εξίσωσης:

Ep + Ek = const

Δεδομένου ότι το παράγωγο των σταθερών είναι ίσο με 0, τότε (Ερ + Ek) «= 0. Το παράγωγο του αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των παραγώγων:

Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mV2 / 2) = m / 2 (ν2) «= m / 2 * 2V * v «= mv * α,

Ως εκ τούτου:

Mg / L * xv + ΜνΑ = ν (mg / L * x + m α) = 0.

Με βάση το τελευταίο τύπο, βρίσκουμε: α = - g / L * x.

Πρακτική εφαρμογή του μαθηματικού εκκρεμούς

Επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης ποικίλλει ανάλογα με το γεωγραφικό πλάτος, επειδή η πυκνότητα του φλοιού γύρω από τον πλανήτη δεν είναι ταυτόσημα. Σε περίπτωση που συμβεί βράχια με μεγαλύτερη πυκνότητα, θα είναι ελαφρώς υψηλότερο. Επιτάχυνση των μαθηματικών εκκρεμούς χρησιμοποιείται συχνά για εξερεύνηση. Σε βοήθεια του εμφάνιση για διάφορα μέταλλα. Απλά μετρώντας τον αριθμό των ταλαντώσεων ενός εκκρεμούς, είναι δυνατό να ανιχνευθεί η άνθρακα ή μεταλλεύματος στα σπλάχνα της Γης. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι πόροι αυτοί έχουν μια πυκνότητα και βάρος άνω των ξαπλωμένη κάτω από τα χαλαρά πετρώματα.

Μαθηματική εκκρεμές που χρησιμοποιούνται από τέτοια εξέχουσα μελετητές όπως ο Σωκράτης, ο Αριστοτέλης, ο Πλάτωνας, ο Πλούταρχος, ο Αρχιμήδης. Πολλοί από αυτούς πίστευαν ότι το μηχανικό σύστημα μπορεί να επηρεάσει την τύχη και τη ζωή. Αρχιμήδης χρησιμοποίησε το μαθηματικό εκκρεμές με τους υπολογισμούς του. Στις μέρες μας, πολλοί αποκρυφιστές και μέντιουμ χρησιμοποιούν αυτό το μηχανικό σύστημα για την εφαρμογή των προφητειών του, ή την αναζήτηση εξαφανισθέντων ατόμων.

Ο διάσημος Γάλλος αστρονόμος και επιστήμονας, Flammarion για την έρευνα τους χρησιμοποιείται επίσης ένα μαθηματικό εκκρεμές. Υποστήριξε ότι με τη βοήθειά του, ήταν σε θέση να προβλέψει την ανακάλυψη ενός νέου πλανήτη, την εμφάνιση του μετεωρίτη Tunguska, και άλλες σημαντικές εκδηλώσεις. Κατά τη διάρκεια του Δευτέρου Παγκοσμίου Πολέμου στη Γερμανία (Βερολίνο) εργάστηκε ως εξειδικευμένο ινστιτούτο του εκκρεμούς. Στις μέρες μας, η εν λόγω έρευνα δεν είναι διαθέσιμη Μονάχου Ινστιτούτο Παραψυχολογίας. Το έργο του με το εκκρεμές το προσωπικό του ιδρύματος αυτού που ονομάζεται «radiesteziey».