Αριθμητική πρόοδος

Καθήκοντα μια αριθμητική πρόοδο υπήρχε στην αρχαιότητα. Εμφανίστηκαν και απαίτησαν λύσεις, επειδή είχε μια πρακτική ανάγκη.

Για παράδειγμα, σε ένα από τα παπύρους της αρχαίας Αιγύπτου, που έχει μαθηματικού περιεχομένου, - ο πάπυρος Rhind (ΧΙΧ αιώνα π.Χ.) - περιέχει ένα τέτοιο πρόβλημα: διαιρεί τα δέκα μέτρα των σιτηρών για δέκα άτομα, με την προϋπόθεση, εάν η διαφορά μεταξύ κάθε ένα από αυτά είναι το ένα όγδοο των μέτρων ".

Και στη μαθηματική γραπτά των αρχαίων Ελλήνων, υπάρχουν κομψά θεωρήματα που σχετίζονται με μια αριθμητική πρόοδο. Έτσι, Υψικλής ο Αλεξανδρεύς Αλεξάνδρεια (II αιώνας π.Χ.), που ανέρχονται σε πολλά ενδιαφέροντα καθήκοντα και πρόσθεσε δεκατέσσερα βιβλία με την «αρχή» του Ευκλείδη διατύπωσε την ιδέα: «Στην αριθμητική πρόοδο που έχει ζυγό αριθμό μελών, το ποσό των μελών της το δεύτερο εξάμηνο περισσότερο από το άθροισμα των μελών της 1- η δεύτερη στο πολλαπλάσιο την πλατεία των 1/2 των μελών της. "

Παίρνουμε έναν αυθαίρετο αριθμό των φυσικών αριθμών (μεγαλύτερη από το μηδέν), 1, 4, 7, ... n-1, n, ..., η οποία ονομάζεται η αριθμητική ακολουθία.

Υποδηλώνει την αλληλουχία ενός. Οι αριθμοί ακολουθίας ονομάζονται τα μέλη του και συνήθως σημειώνονται τα γράμματα με δείκτες που δείχνουν τον αύξοντα αριθμό του μέλους (α1, α2, α3 ... διάβαζε: «μια πρώτη», «δεύτερη», «ένα 3-πλύσιμο» και ούτω καθεξής ).

Η αλληλουχία μπορεί να είναι άπειρη ή πεπερασμένη.

Και τι είναι αριθμητική πρόοδος; Είναι κατανοητό ως μία ακολουθία αριθμών που λαμβάνεται με προσθήκη του προηγούμενου μέλος (η) με τον ίδιο αριθμό d, η οποία είναι η εξέλιξη διαφορά.

Αν d <0, τότε έχουμε μια φθίνουσα εξέλιξη. Αν d> 0, τότε αυτή η εξέλιξη θεωρείται ότι αυξάνεται.

Αριθμητική πρόοδο ονομάζεται πεπερασμένο, αν λάβουμε υπόψη μόνο μερικά από τα πρώτα μέλη του. Όταν ένας πολύ μεγάλος αριθμός των μελών έχει μια άπειρη εξέλιξη.

Οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδος δίδεται από τον ακόλουθο τύπο:

μια = kn + b, ενώ b και k - κάποιους αριθμούς.

Απολύτως αληθινή δήλωση, η οποία είναι η αντίστροφη: αν η αλληλουχία δίνεται από ένα παρόμοιο τύπο, είναι ακριβώς η αριθμητική πρόοδο, η οποία έχει τις ιδιότητες:

1. Κάθε μέλος της εξέλιξης - ο αριθμητικός μέσος όρος του προηγούμενου όρου και στη συνέχεια.
2. : Εάν, αρχής γενομένης από το δεύτερο, κάθε μέλος - ο αριθμητικός μέσος όρος του προηγούμενου χρόνου, και η μετέπειτα, δηλαδή, Εάν η κατάσταση, αυτή η αλληλουχία - μια αριθμητική πρόοδο. Αυτή η ισότητα είναι και ένα σημάδι της προόδου, ως εκ τούτου, αναφέρεται συνήθως ως χαρακτηριστικό γνώρισμα της εξέλιξης.
   Ομοίως, το θεώρημα είναι αλήθεια ότι αντανακλά αυτήν την ιδιότητα: η αλληλουχία - αριθμητική πρόοδο μόνο εάν αυτή η εξίσωση ισχύει για οποιοδήποτε από τα μέλη της ακολουθίας, που αρχίζει με το δεύτερο.

Μια χαρακτηριστική ιδιότητα των τυχόν αριθμούς για τα τέσσερα αριθμητική πρόοδο μπορεί να εκφράζεται από ένα + π.μ. = ak + αϊ, αν n + m = k + l (m, n, k - αριθμός εξέλιξης).

Σε μια αριθμητική πρόοδο του οποιουδήποτε επιθυμητού (Ν-th) μέλος μπορεί να βρεθεί με τη χρήση του ακόλουθου τύπου:

an = a1 + d (n-1).

Για παράδειγμα: το πρώτο μέλος (a1) σε μια αριθμητική πρόοδο είναι δεδομένη και ίση με τρεις, και η διαφορά (d) είναι ίση με τέσσερα. Βρείτε πρέπει να μέλους τεσσαρακοστό πέμπτο αυτής της εξέλιξης. A45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Τύπου an = ak + d (n - k) για να προσδιοριστεί η Ν-th διάρκειας ενός αριθμητική πρόοδο μέσα από καθένα από k-οστού μέλους του παρέχονται αν είναι γνωστή.

Όροι Άθροισμα μια αριθμητική πρόοδο (υποθέτοντας ότι το πρώτα μέλη n πεπερασμένη εξέλιξη) υπολογίζεται ως εξής:

Sn = (a1 + an) n / 2.

Εάν γνωρίζετε τη διαφορά σε αριθμητική πρόοδο, και το πρώτο μέλος, για να υπολογίσει άλλες χρήσιμες τύπο:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Η εξέλιξη άθροισμα αριθμητική η οποία περιλαμβάνει μέλη n, υπολογίζονται ως εξής:

Sn = (a1 + an) * n / 2.

τύπους επιλογής για τους υπολογισμούς εξαρτάται από τις συνθήκες και τα προβλήματα των αρχικών δεδομένων.

Φυσικούς αριθμούς οποιοσδήποτε αριθμός όπως 1,2,3, ..., n, ...- απλούστερο παράδειγμα μια αριθμητική πρόοδο.

Επιπλέον υπάρχει μια αριθμητική πρόοδος και η γεωμετρική η οποία διαθέτει τις ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά.