Τον κανόνα του Cramer και η εφαρμογή του

κανόνας του Cramer - είναι μια από τις ακριβείς μεθόδους για την επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (Slough). ακρίβειά του λόγω της χρήσης των καθοριστικών παραγόντων της μήτρας συστήματος, καθώς και ορισμένων από τους περιορισμούς που επιβάλλονται στην απόδειξη του θεωρήματος.

Ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με ανήκουν συντελεστές που πρέπει, για παράδειγμα, μία πλειάδα από R - πραγματικών αριθμών των αγνώστων x1, x2, ..., xn είναι μια συλλογή από εκφράσεων

AI2 x1 + x2 + AI2 ... ain xn = bi με i = 1, 2, ..., m, (1)

όπου aij, bi - πραγματικοί αριθμοί. Κάθε μία από αυτές τις εκφράσεις ονομάζεται γραμμική εξίσωση, aij - συντελεστών των αγνώστων, bi - ανεξάρτητα συντελεστές των εξισώσεων.

διάλυμα (1) που αναφέρονται στο n-διάστατο διάνυσμα x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), στην οποία η υποκατάσταση στο σύστημα για την x1 αγνώστους, x2, ..., xn, κάθε μία από τις γραμμές στο σύστημα γίνεται καλύτερα εξίσωση .

Το σύστημα ονομάζεται συνεπής αν έχει τουλάχιστον μια λύση, και ασυνεπής, αν συμπίπτει με το σύνολο διάλυμα του κενό σύνολο.

Πρέπει να υπενθυμίσουμε ότι για να βρει λύσεις στα συστήματα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer, συστήματα μήτρας πρέπει να είναι τετράγωνο, το οποίο βασικά σημαίνει τον ίδιο αριθμό των αγνώστων και εξισώσεις στο σύστημα.

Έτσι, για να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο του Cramer, θα πρέπει τουλάχιστον να γνωρίζουν ποια είναι η μήτρα είναι ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, και εκδίδεται. Και δεύτερον, για να καταλάβετε τι ονομάζεται ορίζουσα του πίνακα και τις δεξιότητές του υπολογισμού.

Ας υποθέσουμε ότι αυτή η γνώση που κατέχουν. Υπέροχο! Στη συνέχεια θα πρέπει να απομνημονεύσετε μόνο τύπους προσδιορισμού μέθοδο Kramer. Για την απλοποίηση απομνημόνευση χρησιμοποιήστε την ακόλουθη μορφή:

• Det - ο κύριος καθοριστικός παράγοντας της μήτρας του συστήματος?

• deti - είναι η ορίζουσα του πίνακα που λαμβάνεται από το πρωτεύον μήτρα του συστήματος αντικαθιστώντας i-th στήλη της μήτρας σε ένα διάνυσμα στήλης του οποίου τα στοιχεία είναι οι δεξιές πλευρές των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων?

• n - ο αριθμός των αγνώστων και εξισώσεις στο σύστημα.

Στη συνέχεια κανόνα υπολογισμού του Cramer i-th xi συστατικό (i = 1, .. n) n-διάστατο διάνυσμα x μπορεί να γραφτεί ως

xi = deti / Det, (2).

Σε αυτή την περίπτωση, Det απολύτως διαφορετική από το μηδέν.

Η μοναδικότητα της λύσης του συστήματος όταν αυτό παρέχεται από τον όρο ανισότητα τον κύριο καθοριστικό παράγοντα του συστήματος στο μηδέν από κοινού. Σε αντίθετη περίπτωση, εάν το άθροισμα της (xi), τετράγωνο, αυστηρά θετικό, τότε slae ένα τετράγωνο πλέγμα είναι ανέφικτο. Αυτό μπορεί να συμβεί ιδιαίτερα όταν τουλάχιστον ένα από ΥΟΜΥ μη μηδενική.

Παράδειγμα 1. Για να λύσει το τρισδιάστατο σύστημα ΤΔΜ με τον τύπο του Cramer.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Απόφαση. Γράφουμε κάτω από το πλέγμα της γραμμής συστήματος από τη γραμμή, όπου Αϊ - είναι το i-th γραμμή του πίνακα.
Α1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Στήλη δωρεάν συντελεστές b = (31 Οκτωβρίου 29).

Το κύριο σύστημα είναι ο καθοριστικός παράγοντας Det
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 A31 + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 Α21 Α12 = 1 - 20 +12 - 12+ 2-10 = -27.

Για τον υπολογισμό της μετάθεσης DET1 χρησιμοποιώντας a11 = b1, Α21 = β2, Α31 = b3. τότε
DET1 = b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + A31 b2 Α32 - Α13 Α22 b3 - β1 A32 A23 - A33 β2 a12 = ... = -81.

Παρομοίως, για να υπολογίσει ΏΕΤ2 χρήση υποκατάσταση Α12 = b1, Α22 = b2, Α32 = b3, και, κατά συνέπεια, να υπολογίσει det3 - Α13 = b1, Α23 = b2, Α33 = b3.
Στη συνέχεια, μπορείτε να ελέγξετε ότι ΏΕΤ2 = -108, και det3 = - 135.
Σύμφωνα με τους τύπους Cramer βρείτε x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Απάντηση: x ° = (3,4,5).

Στηριζόμενη στην εφαρμοσιμότητα του κανόνα αυτού, η μέθοδος των Kramer συστήματα γραμμικών εξισώσεων επίλυση μπορεί να χρησιμοποιηθεί έμμεσα, για παράδειγμα, να ερευνήσει το σύστημα σχετικά με την ενδεχόμενη αριθμό των λύσεων ανάλογα με την τιμή μιας παραμέτρου k.

Παράδειγμα 2. Για τον προσδιορισμό σε ποιο τιμές της παραμέτρου k ανισότητα | KX - y - 4 | + | x + KY + 4 | <= 0 έχει ακριβώς μία λύση.

Απόφαση.
Αυτή η ανισότητα, από τον ορισμό της συνάρτησης μονάδας μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνο εάν και οι δύο εκφράσεις είναι μηδέν ταυτόχρονα. Ως εκ τούτου, αυτό το πρόβλημα ανάγεται στην εξεύρεση της λύσης γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Η λύση σε αυτό το σύστημα μόνο αν είναι ο κύριος καθοριστικός παράγοντας της
Det = k ^ {2} + 1 είναι μη μηδενική. Είναι σαφές ότι αυτή η συνθήκη ικανοποιείται για όλες τις πραγματικές τιμές της παραμέτρου k.

Απάντηση: για όλες τις πραγματικές τιμές της παραμέτρου k.

Οι στόχοι αυτού του τύπου μπορεί επίσης να μειωθεί πολλά πρακτικά προβλήματα στον τομέα των μαθηματικών, της φυσικής και της χημείας.