Το πρώτο σημάδι της ισότητας των τριγώνων. Το δεύτερο και το τρίτο σημάδι της ισότητας των τριγώνων

Μεταξύ του τεράστιου αριθμού πολυγώνων, που στην πραγματικότητα είναι μια κλειστή μη διασταυρούμενη διακεκομμένη γραμμή, το τρίγωνο είναι ο αριθμός με τον μικρότερο αριθμό γωνιών. Με άλλα λόγια, αυτό είναι το απλούστερο πολύγωνο. Αλλά, παρά την απλότητα του, αυτή η μορφή περιέχει πολλά μυστήρια και ενδιαφέρουσες ανακαλύψεις, που καλύπτονται από ένα ειδικό τμήμα των μαθηματικών - γεωμετρία. Αυτή η πειθαρχία διδάσκεται στα σχολεία από την έβδομη τάξη και δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στο θέμα "Τρίγωνο". Τα παιδιά όχι μόνο μαθαίνουν τους κανόνες για το ίδιο το σχήμα, αλλά και τα συγκρίνουν, μελετώντας 1, 2 και 3 σημάδια ισότητας τριγώνων.

Πρώτη γνωριμία

Ένας από τους πρώτους κανόνες με τους οποίους γνωρίζουν οι σπουδαστές, ακούγεται έτσι: το άθροισμα των μεγεθών όλων των γωνιών του τριγώνου είναι 180 μοίρες. Για να το επιβεβαιώσετε, αρκεί να μετρήσετε κάθε κορυφή με τη βοήθεια ενός μοιρογνωμόνιου και να προσθέσετε όλες τις προκύπτουσες τιμές. Συνεχίζοντας από αυτό, για δύο γνωστές ποσότητες είναι εύκολο να προσδιοριστεί η τρίτη. Για παράδειγμα : Σε ένα τρίγωνο, μία από τις γωνίες είναι 70 °, και η άλλη - 85 °, ποια είναι η τιμή της τρίτης γωνίας;

180 - 85 - 70 = 25.

Απάντηση: 25 °.

Τα προβλήματα μπορεί να είναι πιο περίπλοκα εάν υποδεικνύεται μόνο μία τιμή της γωνίας και η δεύτερη τιμή αναφέρει μόνο πόσο ή πόσες φορές είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη.

Στο τρίγωνο, για να προσδιοριστεί κάποιο από τα χαρακτηριστικά του, μπορούν να σχεδιαστούν ειδικές γραμμές, καθένα από τα οποία έχει το δικό του όνομα:

• Ύψος - κάθετη γραμμή από την κορυφή προς την αντίθετη πλευρά.
• Και τα τρία ύψη που βρίσκονται ταυτόχρονα στο κέντρο της μορφής τέμνονται σχηματίζοντας ένα ορθοκέντρο, το οποίο, ανάλογα με τον τύπο του τριγώνου, μπορεί να είναι τόσο μέσα όσο και έξω.
• Διάμεση - η γραμμή που συνδέει την κορυφή με τη μέση της αντίθετης πλευράς.
• Η τομή των μεσαίων είναι το σημείο βάρους, είναι μέσα στο σχήμα.
• Το Bisectrix είναι μια γραμμή που διέρχεται από την κορυφή στο σημείο τομής με την αντίθετη πλευρά, το σημείο τομής των τριών διχοτόπων είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.

Απλές αλήθειες για τα τρίγωνα

Τα τρίγωνα, όπως όλοι οι αριθμοί, έχουν τα δικά τους χαρακτηριστικά και ιδιότητες. Όπως ήδη αναφέρθηκε, ο αριθμός αυτός είναι το απλούστερο πολύγωνο, αλλά με τα δικά του χαρακτηριστικά:

• Ενάντια στη μακρύτερη πλευρά υπάρχει πάντοτε μια γωνία με μεγαλύτερη τιμή και αντίστροφα.
• Ίσες γωνίες βρίσκονται στις ίσες πλευρές, ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα παράδειγμα.
• Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι πάντα 180 °, το οποίο έχει ήδη αποδειχθεί από το παράδειγμα.
• Όταν η μία πλευρά του τριγώνου εκτείνεται πέρα από τα όριά της, σχηματίζεται μια εξωτερική γωνία, η οποία θα είναι πάντοτε ίση με το άθροισμα των γωνιών που δεν γειτονεύουν με αυτήν.
• Οποιοδήποτε από τα μέρη είναι πάντα μικρότερο από το άθροισμα των άλλων δύο κομμάτων, αλλά περισσότερο από τη διαφορά τους.

Τύποι τριγώνων

Το επόμενο στάδιο γνωριμίας είναι να προσδιοριστεί η ομάδα στην οποία ανήκει το αντιπροσωπευόμενο τρίγωνο. Η υπαγωγή σε μια ή την άλλη μορφή εξαρτάται από τις γωνίες του τριγώνου.

• Ίση - με δύο ίσες πλευρές, οι οποίες αποκαλούνται πλευρικές, η τρίτη σε αυτή την περίπτωση ενεργεί ως βάση του σχήματος. Οι γωνίες στη βάση ενός τέτοιου τριγώνου είναι οι ίδιες, και η διάμεσος που προέρχεται από την κορυφή είναι η διχρωμία και το ύψος.
• Ένα κανονικό ή ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα με όλες τις πλευρές ίσο.
• Ορθογώνια: μία από τις γωνίες της είναι 90 °. Σε αυτή την περίπτωση, η πλευρά απέναντι από αυτή τη γωνία ονομάζεται υποτείνουσα και τα άλλα δύο ονομάζονται πόδια.
• Πολύ ισχυρό τρίγωνο - όλες οι γωνίες είναι μικρότερες από 90 °.
• Αμβλύ γωνία - μία από τις γωνίες είναι μεγαλύτερη από 90 °.

Ισότητα και ομοιότητα των τριγώνων

Στη διαδικασία της μάθησης, όχι μόνο εξετάστε ένα μόνο σχήμα, αλλά συγκρίνετε και δύο τρίγωνα. Και αυτό το φαινομενικά απλό θέμα έχει πολλούς κανόνες και θεωρήματα στα οποία μπορεί κανείς να αποδείξει ότι οι αριθμοί που εξετάζονται είναι ίσα τρίγωνα. Τα σημάδια της ισότητας των τριγώνων έχουν τον ακόλουθο ορισμό: τα τρίγωνα είναι ίσα αν οι αντίστοιχες πλευρές και οι γωνίες τους είναι οι ίδιες. Με αυτή την ισότητα, αν τοποθετήσετε αυτά τα δύο στοιχεία μεταξύ τους, όλες οι γραμμές τους θα συγκλίνουν. Επίσης, οι αριθμοί μπορεί να είναι παρόμοιοι, ειδικότερα, αφορούν σχεδόν ταυτόσημους αριθμούς, οι οποίοι διαφέρουν μόνο ως προς το μέγεθος. Προκειμένου να γίνει ένα τέτοιο συμπέρασμα σχετικά με τα αντιπροσωπευτικά τρίγωνα, πρέπει να τηρηθεί μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

• Δύο γωνίες μιας μορφής είναι ίσες με τις δύο γωνίες του άλλου.
• Οι δύο πλευρές του ενός είναι ανάλογες προς τις δύο πλευρές του δεύτερου τριγώνου και οι γωνίες που σχηματίζονται από τις πλευρές είναι ίσες.
• Οι τρεις πλευρές της δεύτερης μορφής είναι οι ίδιες με τις πρώτες.

Φυσικά, για αδιαμφισβήτητη ισότητα, που δεν θα προκαλέσει την παραμικρή αμφιβολία, είναι απαραίτητο να έχουμε τις ίδιες αξίες για όλα τα στοιχεία και των δύο αριθμών, αλλά χρησιμοποιώντας τα θεωρήματα το πρόβλημα είναι πολύ απλουστευμένο και μόνο λίγες συνθήκες επιτρέπονται για να αποδείξουν την ισότητα των τριγώνων.

Το πρώτο σημάδι της ισότητας των τριγώνων

Προβλήματα επί του θέματος αυτού λύνονται με βάση την απόδειξη του θεώρημα που λέει: "Εάν οι δύο πλευρές του τριγώνου και η γωνία που σχηματίζουν είναι ίσες με τις δύο πλευρές και τη γωνία του άλλου τριγώνου, τότε τα στοιχεία είναι επίσης ίσα".

Πώς ακούγεται η απόδειξη του θεώρημα για το πρώτο σημάδι της ισότητας των τριγώνων; Όλοι γνωρίζουν ότι δύο τμήματα είναι ίσα αν έχουν το ίδιο μήκος ή οι κύκλοι είναι ίσοι αν έχουν την ίδια ακτίνα. Και στην περίπτωση των τριγώνων, υπάρχουν πολλά σημάδια, με τα οποία, μπορεί να θεωρηθεί ότι τα στοιχεία είναι πανομοιότυπα, το οποίο είναι πολύ βολικό για την επίλυση διαφόρων γεωμετρικών προβλημάτων.

Πως περιγράφεται παραπάνω το θεώρημα "Η πρώτη ένδειξη της ισότητας των τριγώνων", αλλά η απόδειξη:

• Υποθέστε ότι τα τρίγωνα ABC και A ₁ B ₁ C ₁ έχουν τις ίδιες πλευρές AB και A ₁ B ₁ και αντίστοιχα BC και B ₁ C ₁ και οι γωνίες που σχηματίζονται από αυτές τις πλευρές έχουν την ίδια τιμή, δηλαδή είναι ίσες. Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας το △ ABC στο △ A ₁ B ₁ C _1, παίρνουμε τη σύμπτωση όλων των γραμμών και κορυφών. Επομένως, προκύπτει ότι αυτά τα τρίγωνα είναι απολύτως πανομοιότυπα και επομένως είναι ίσα μεταξύ τους.

Το θεώρημα "Το πρώτο σημάδι της ισότητας των τριγώνων" ονομάζεται επίσης "Από δύο πλευρές και μια γωνία". Στην πραγματικότητα, αυτή είναι η ουσία του.

Το δεύτερο θεώρημα χαρακτηρισμού

Το δεύτερο σημάδι ισότητας αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο, η απόδειξη βασίζεται στο γεγονός ότι όταν οι αριθμοί είναι τοποθετημένοι μεταξύ τους, συμπίπτουν πλήρως σε όλες τις κορυφές και τις πλευρές. Και το θεώρημα ακούγεται έτσι: "Αν μια πλευρά και δύο γωνίες στο σχηματισμό της οποίας συμμετέχουν αντιστοιχούν στην πλευρά και στις δύο γωνίες του δεύτερου τριγώνου, τότε αυτοί οι αριθμοί είναι ίδιοι, δηλαδή ίσοι".

Το τρίτο σημάδι και απόδειξη

Αν και τα 2 και τα 1 της ισότητας των τριγώνων αγγίζουν τις πλευρές και τις γωνίες της μορφής, τότε το τρίτο αναφέρεται μόνο στις πλευρές. Έτσι, το θεώρημα έχει την ακόλουθη διατύπωση: "Εάν όλες οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες με τρεις πλευρές του δεύτερου τριγώνου, τότε οι αριθμοί είναι ίδιοι".

Για να αποδείξουμε αυτό το θεώρημα, πρέπει να βρούμε περισσότερες λεπτομέρειες στον ίδιο τον ορισμό της ισότητας. Στην πραγματικότητα, τι σημαίνει η έκφραση "ίσα τρίγωνα"; Η ταυτότητα σημαίνει ότι αν τοποθετήσετε μια εικόνα σε μια άλλη, όλα τα στοιχεία της θα συμπέσουν, μπορεί να είναι μόνο εάν οι πλευρές και οι γωνίες τους είναι ίσες. Ταυτόχρονα, η γωνία απέναντι από μια από τις πλευρές, η οποία είναι ίδια με αυτή του άλλου τριγώνου, θα είναι ίση με την αντίστοιχη κορυφή του δεύτερου σχήματος. Πρέπει να σημειωθεί ότι σε αυτό το σημείο η απόδειξη μπορεί εύκολα να μεταφραστεί σε 1 σημάδι ισότητας τριγώνων. Αν δεν παρατηρηθεί μια τέτοια ακολουθία, η ισότητα των τριγώνων είναι απλώς αδύνατη, εκτός εάν το σχήμα είναι μια κατοπτρική εικόνα του πρώτου.

Ορθογώνια τρίγωνα

Στη δομή τέτοιων τριγώνων, υπάρχουν πάντα κορυφές με γωνία 90 °. Επομένως, ισχύουν οι ακόλουθοι ισχυρισμοί:

• Τα τρίγωνα με ορθή γωνία είναι ίσα αν τα πόδια ενός είναι πανομοιότυπα με τα πόδια του δεύτερου.
• Τα αριθμητικά στοιχεία είναι ίσα αν η υποτείνουσα και το ένα από τα πόδια είναι ίσα.
• Αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα αν τα πόδια και η οξεία γωνία είναι όμοια.

Αυτό το χαρακτηριστικό αναφέρεται σε ορθογώνια τρίγωνα. Για να αποδείξουμε το θεώρημα, εφαρμόστε την εφαρμογή των σχημάτων μεταξύ τους, με αποτέλεσμα τα τρίγωνα να διπλώνονται από τα πόδια έτσι ώστε από τις δύο ευθείες γραμμές να υπάρχει μια γωνία ξετυλιγμένη με τις πλευρές CA και CA ₁ .

Πρακτική εφαρμογή

Στις περισσότερες περιπτώσεις, στην πράξη, εφαρμόζεται το πρώτο σημάδι της ισότητας των τριγώνων. Στην πραγματικότητα, αυτό το φαινομενικά απλό θέμα της 7ης τάξης στη γεωμετρία και την πλανητομετρία χρησιμοποιείται επίσης για τον υπολογισμό του μήκους, για παράδειγμα, ενός τηλεφωνικού καλωδίου χωρίς να μετράται το έδαφος πάνω στο οποίο θα περάσει. Με τη βοήθεια αυτού του θεωρήματος, είναι εύκολο να γίνουν οι απαραίτητοι υπολογισμοί για να καθοριστεί το μήκος του νησιού στο μέσο του ποταμού, χωρίς να το διασχίσει. Ενισχύστε τον φράκτη τοποθετώντας τη ράβδο στην περιοχή έτσι ώστε να την χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα ή να υπολογίσετε πολύπλοκα στοιχεία της ξυλουργικής εργασίας ή κατά τον υπολογισμό του συστήματος στέγης στέγης κατά την κατασκευή.

Το πρώτο σημάδι της ισότητας των τριγώνων έχει ευρεία εφαρμογή στην πραγματική "ενήλικη" ζωή. Παρόλο που τα σχολικά χρόνια είναι αυτό το θέμα για πολλούς φαίνεται βαρετό και τελείως περιττό.