Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν της πυραμίδας: τη βάση, πλευρά και πλήρης;

Στο πλαίσιο της προετοιμασίας για τις εξετάσεις των φοιτητών μαθηματικά πρέπει να συστηματοποιήσει τη γνώση της άλγεβρας και της γεωμετρίας. Θα ήθελα να συνδυάσει όλες τις γνωστές πληροφορίες, όπως το πώς να υπολογίσουμε το εμβαδόν της πυραμίδας. Επιπλέον, ξεκινώντας από τον πυθμένα και πλευρικών όψεων μέχρι όλη την επιφάνεια. Αν η πλευρά που αντιμετωπίζει η κατάσταση είναι σαφής, δεδομένου ότι είναι τρίγωνα, η βάση είναι πάντα διαφορετική.

Πώς να είναι, όταν η περιοχή της βάσης της πυραμίδας;

Μπορεί να είναι αρκετά οποιοδήποτε σχήμα από μια αυθαίρετη τρίγωνο στο Ν-gon. Και αυτή η βάση, εκτός από την διαφορά στον αριθμό των γωνιών, μπορεί να είναι σωστή ή λανθασμένη εικόνα. Προς το συμφέρον των φοιτητών εργασίες για τις εξετάσεις βρέθηκε μόνο θέσεις εργασίας με τα σωστά στοιχεία στη βάση. Ως εκ τούτου, θα μιλήσουμε μόνο γι 'αυτούς.

ισόπλευρο τρίγωνο

Αυτό είναι ισόπλευρο. Μια που όλα τα μέρη είναι ίσα και χαρακτηρίζονται με το γράμμα «α». Στην περίπτωση αυτή, η βασική έκταση της πυραμίδας υπολογίζεται από τον τύπο:

S = (α ² * √3) / 4.

πλατεία

Ο τύπος για τον υπολογισμό περιοχή είναι η πιο απλή, είναι «ένα» - πλευρά είναι και πάλι:

Και S = ^2.

Αυθαίρετες τακτική n-gon

Στις πλευρές του πολυγώνου την ίδια ονομασία. Για τον αριθμό των γωνιών χρησιμοποιείται λατινικό γράμμα n.

S = (n * α ²⁾ / (4 * TG (180 ° / n)) .

Πώς να εισέλθουν στον υπολογισμό της περιοχής της πλευρικής και την πλήρη επιφάνεια;

Δεδομένου ότι ο αριθμός βάσης είναι σωστή, τότε όλες οι όψεις της πυραμίδας είναι ίσες. Κάθε ένα από τα οποία είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο, δεδομένου ότι οι πλευρικές ακμές είναι ίσες. Στη συνέχεια, προκειμένου να υπολογιστεί το εμβαδόν ενός πλευράς της πυραμίδος χρειάζονται τύπου που αποτελείται από το άθροισμα των monomials πανομοιότυπα. Ο αριθμός των όρων προσδιορίζεται από το ποσό των πλευρών βάσης.

Η περιοχή ενός ισοσκελούς τριγώνου υπολογίζεται από τον τύπο στον οποίο το ήμισυ του βασικού προϊόντος πολλαπλασιάζεται με το ύψος. Αυτό το ύψος της πυραμίδας που ονομάζεται απόστημα χορδής. ονομασία του - "A". Ο γενικός τύπος για την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας είναι ως εξής:

S = ½ P * A, όπου Ρ - περίμετρο της βάσης της πυραμίδας.

Υπάρχουν φορές όταν δεν είναι γνωστή στην πλευρά βάσης, αλλά οι πλευρικές ακμές είναι (α) επίπεδη και η γωνία στην κορυφή (α). Στη συνέχεια, επικαλείται χρησιμοποιεί τον ακόλουθο τύπο για τον υπολογισμό της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας:

S = n / 2 έως ² * sin α.

Εργασία № 1

Κατάσταση. Εύρεση τη συνολική έκταση της πυραμίδας, εάν η βάση του είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο με μια πλευρά του 4 cm και έχει την τιμή √3 απόστημα χορδής cm.

Απόφαση. Θα πρέπει να αρχίσει με τον υπολογισμό της βάσης περίμετρο. Δεδομένου ότι αυτό είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο, τότε Ρ = 3 * 4 = 12 εκατοστά απόστημα χορδής Όπως είναι γνωστό, μπορεί κανείς να υπολογίσει αμέσως την περιοχή ολόκληρης της πλευρικής επιφάνειας :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

Για την απόκτηση της βάσης τρίγωνο είναι η τιμή του εμβαδού (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Για να καθοριστεί ολόκληρη η περιοχή πρέπει να διπλώνουν τα δύο προκύπτουσες τιμές: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Απάντηση. 10√3 ^cm2.

Πρόβλημα № 2

Κατάσταση. Υπάρχει τακτική τετράπλευρη πυραμίδα. Το μήκος της βάσης είναι ίση έως 7 mm, η πλευρική ακμή - 16 mm. Θα πρέπει να γνωρίζετε επιφάνειά της.

Απόφαση. Από το πολύεδρο - ορθογώνια και σωστή, στη βάση του είναι ένα τετράγωνο. Ακρόαση βασική έκταση και πλάγιες πλευρές να είναι σε θέση να μετρήσει την πλατεία πυραμίδα. Ο τύπος για το τετράγωνο δίνεται παραπάνω. Και ξέρω όλες τις πλευρικές επιφάνειες του τριγώνου. Ως εκ τούτου, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο του Ήρωνα για τον υπολογισμό των περιοχών τους.

Οι πρώτοι υπολογισμοί είναι απλά και οδηγούν σε αυτόν τον αριθμό: 49 χιλιοστά ^2. Για τον υπολογισμό της δεύτερης τιμής πρέπει semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 χιλιοστά. Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54.644 χιλιοστά ^2. Υπάρχουν τέσσερα τρίγωνα, τόσο κατά τον υπολογισμό των τελικών αριθμοί θα πρέπει να πολλαπλασιάζεται επί 4.

Λήφθηκε: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Απάντηση. 267.576 επιθυμητή τιμή των ² mm.

Task № 3

Κατάσταση. Σε τακτά τετράπλευρη πυραμίδα είναι απαραίτητη για τον υπολογισμό της περιοχής. Είναι γνωστό πλευρά του τετραγώνου - 6 cm και ύψος - 4 εκατοστά.

Απόφαση. Ο ευκολότερος τρόπος για να χρησιμοποιήσετε τον τύπο στο προϊόν της περιμέτρου και απόστημα χορδής. Η πρώτη τιμή βρίσκεται απλά. Το δεύτερο είναι λίγο πιο δύσκολο.

Θα πρέπει να θυμόμαστε το Πυθαγόρειο θεώρημα και να εξετάσει ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Σχηματίζεται από το ύψος της πυραμίδας και απόστημα χορδής, η οποία είναι η υποτείνουσα. Το δεύτερο σκέλος είναι το ήμισυ η πλευρά του τετραγώνου, όπως ένα ύψος πολύεδρου εμπίπτει στην μέση του.

Ευνοούμενες απόστημα χορδής (η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου) είναι ίση με √ ^{(3 2 + 4 2) =} 5 ( cm).

Τώρα είναι δυνατόν να υπολογιστεί η επιθυμητή τιμή: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 = 96 ( cm ^2).

Απάντηση. 96 ^cm2.

Πρόβλημα № 4

Κατάσταση. Dana κανονική εξαγωνική πυραμίδα. Οι πλευρές της βάσης του ίσο προς 22 mm, τα πλευρικά άκρα - 61 mm. Ποια είναι η έκταση της πλευρικής επιφάνειας του πολύεδρο;

Απόφαση. Η αιτιολογία αυτή είναι η ίδια όπως περιγράφεται στο №2 έργο. Μόνο η πυραμίδα δόθηκε εκεί στην πλατεία στη βάση, και τώρα είναι ένα εξάγωνο.

Το πρώτο βήμα υπολογίζεται από την περιοχή της βάσης του ανωτέρω τύπου ^{(6 * 22 2) / (} 4 * TG (180 ° / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Τώρα πρέπει να βρούμε μισή περίμετρο ενός ισοσκελούς τριγώνου, η οποία είναι μια πλευρά του προσώπου. (22 + 61 * 2) :. = 72 εκ.2 παραμένει σχετικά Τύπος του Ήρωνα για να υπολογίσει το εμβαδόν του κάθε τριγώνου, και στη συνέχεια πολλαπλασιάσετε με έξι φορές και εκείνη που αποδείχθηκε με τη βάση.

Υπολογισμοί για Τύπος του Ήρωνα: √ (72 * (72-22) * ( 72-61) 2) = √435600 = 660 ^cm2. Οι υπολογισμοί που θα παρέχει πλευρική έκταση επιφανείας: 660 * 6 = 3.960 εκατοστά ^2. Μένει να τα προσθέσετε έως και μάθετε όλη την επιφάνεια: 5217,47≈5217 cm ^2.

Απάντηση. Λόγοι - 726√3 cm ^2, η πλευρική επιφάνεια - 3960 cm ^2, ολόκληρη η περιοχή - 5217 cm ^2.