Διορθωμένο πεντάγωνο: οι ελάχιστες απαιτούμενες πληροφορίες

Επεξηγηματικό λεξικό Ozhegova λέει ότι το πεντάγωνο είναι μια γεωμετρική μορφή, οριοθετημένη από πέντε διασταυρωμένες γραμμές, που σχηματίζουν πέντε εσωτερικές γωνίες, καθώς και οποιοδήποτε αντικείμενο παρόμοιας μορφής. Αν ένα δεδομένο πολύγωνο έχει όλες τις πλευρές και γωνίες ταυτόσημες, τότε ονομάζεται το σωστό (πεντάγωνο).

Ποιο είναι το ενδιαφέρον ενός κανονικού πεντάγωνου;

Ήταν αυτή η μορφή που χτίστηκε το διάσημο κτίριο του Υπουργείου Άμυνας των Ηνωμένων Πολιτειών. Από το κανονικό πολυεδρικό όγκο, μόνο ένα δωδεκαέδριο έχει όψεις με τη μορφή ενός πεντάγωνου. Και στη φύση δεν υπάρχουν καθόλου κρύσταλλοι, τα πρόσωπα των οποίων θα μοιάζουν με κανονικό πεντάγωνο. Επιπλέον, αυτό το σχήμα είναι ένα πολύγωνο με έναν ελάχιστο αριθμό γωνιών, το οποίο είναι αδύνατο να τετραγωνιστεί η περιοχή. Μόνο στο πεντάγωνο ο αριθμός των διαγωνίων συμπίπτει με τον αριθμό των πλευρών του. Συμφωνώ, είναι ενδιαφέρον!

Βασικές ιδιότητες και τύποι

Χρησιμοποιώντας τους τύπους για ένα αυθαίρετο κανονικό πολύγωνο, μπορείτε να καθορίσετε όλες τις απαραίτητες παραμέτρους που έχει το Πεντάγωνο.

• Η κεντρική γωνία είναι α = 360 / n = 360/5 = 72 °.
• Η εσωτερική γωνία β = 180 ° * (η-2) / η = 180 ° * 3/5 = 108 °. Αντίστοιχα, το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι 540 °.
• Ο λόγος της διαγώνιας προς την πλευρά είναι (1 + √5) / 2, δηλαδή το "χρυσό τμήμα" (περίπου 1.618).
• Το μήκος της πλευράς που έχει το κανονικό πεντάγωνο μπορεί να υπολογιστεί από έναν από τους τρεις τύπους, ανάλογα με την παράμετρο που είναι ήδη γνωστή:

• Αν ένας κύκλος περικλείεται γύρω του και η ακτίνα του R είναι γνωστή, τότε a = 2 * R * sin (α / 2) = 2 * R * sin (72 ° / 2) ≈ 1.1756 * R;
• Στην περίπτωση που ένας κύκλος με ακτίνα r είναι εγγεγραμμένος σε κανονικό πεντάγωνο, a = 2 * r * tg (α / 2) = 2 * r * tg (α / 2) ≈ 1,453 * r;
• Συμβαίνει ότι αντί για ακτίνες η διαγώνια τιμή D είναι γνωστή, τότε η πλευρά καθορίζεται ως εξής: a ≈ D / 1,618.

• Η περιοχή του κανονικού πεντάγωνου καθορίζεται, πάλι, ανάλογα με την παραμέτρους που είναι γνωστές σε μας:
• Εάν υπάρχει ένας εγγεγραμμένος ή περιγεγραμμένος κύκλος, τότε χρησιμοποιείται ένας από τους δύο τύπους:

S = (n * a * r) / 2 = 2,5 * α * r ή S = (n * R2 * sin α) / 2 ≈ 2,3776 * R2;

• Η περιοχή μπορεί επίσης να προσδιοριστεί γνωρίζοντας μόνο το μήκος της πλευρικής πλευράς a:

S = (5 * α ² * tg54 °) / 4 ≈ 1,7205 * α ² .

Διορθωμένο πεντάγωνο: κατασκευή

Αυτό το γεωμετρικό σχήμα μπορεί να κατασκευαστεί με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, γράψτε το σε έναν κύκλο με μια δεδομένη ακτίνα ή κατασκευάστε με βάση μια δεδομένη πλευρά. Η ακολουθία των ενεργειών περιγράφηκε στα "Στοιχεία" του Ευκλείδη περίπου 300 χρόνια π.Χ. Σε κάθε περίπτωση, χρειαζόμαστε ένα ζευγάρι πυξίδων και έναν κυβερνήτη. Ας εξετάσουμε μια μέθοδο κατασκευής με τη βοήθεια ενός συγκεκριμένου κύκλου.

1. Επιλέξτε μια αυθαίρετη ακτίνα και σχεδιάστε έναν κύκλο, σημειώνοντας το κέντρο του με το σημείο O.

2. Στη γραμμή κύκλου, επιλέξτε το σημείο που θα χρησιμεύσει ως μία από τις κορυφές του πεντάγωνου μας. Αφήστε αυτό να είναι το σημείο Α. Συμμετοχή στα σημεία O και A με ευθεία γραμμή.

3. Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή μέσα από το σημείο O κάθετα στην ευθεία OA. Τοποθετήστε τη διασταύρωση αυτής της γραμμής με τη γραμμή κύκλου ως σημείο Β.

4. Στο μέσο της απόστασης μεταξύ των σημείων Ο και Β, κατασκευάστε το σημείο C

5. Τώρα τραβήξτε έναν κύκλο του οποίου το κέντρο θα βρίσκεται στο σημείο Γ και το οποίο θα περάσει από το σημείο Α. Ο τόπος της τομής του με την ευθεία OB (θα είναι μέσα στον πρώτο κύκλο) θα είναι το σημείο Δ.

6. Κατασκευάστε έναν κύκλο που διέρχεται από το D του οποίου το κέντρο βρίσκεται στο Α. Τα σημεία της τομής του με τον αρχικό κύκλο πρέπει να ορίζονται από τα σημεία Ε και F.

7. Τώρα κατασκευάστε έναν κύκλο του οποίου το κέντρο βρίσκεται στο Ε. Το κάνετε απαραίτητο ώστε να περάσει από το Α. Η άλλη διασταύρωση του αρχικού κύκλου θα πρέπει να υποδειχθεί από το σημείο G.

8. Τέλος, κατασκευάστε έναν κύκλο μέσω Α με το κέντρο στο σημείο F. Σημειώστε ένα άλλο σημείο τομής του αρχικού κύκλου από το σημείο Η.

9. Τώρα πρέπει μόνο να συνδέσουμε τις κορυφές Α, Ε, Ζ, Η, ΣΤ. Το κανονικό μας πεντάγωνο θα είναι έτοιμο!